Παραγοντοποίηση

Κοινός Παράγοντας

“Κοινός Παράγοντας”

Στην αλγεβρική παράσταση 2χ+2ψ+14ω, τα 2χ, 2ψ και 14ω λέγονται “όροι” της παράστασης. Στον όρο 2χ οι 2 και χ λέγονται παράγοντες του 2χ, ανάλογα το 2 και ψ είναι οι παράγοντες του 2ψ και οι 14 και ω οι παράγοντες του 14ω. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 2 είναι “κοινός παράγοντας” αφού εμφανίζεται σε όλους τους όρους. Στους 2χ και 2ψ είναι προφανές ενώ στον όρο 14ω είναι κρυμμένος μέσα στο 14 (14=2.7).

Επιμεριστική Ιδιότητα
Επιμεριστική Ιδιότητα

Όταν λοιπόν στην παράσταση που θέλουμε να μετατρέψουμε σε γινόμενο είμαστε “τυχεροί” και υπάρχει κοινός παράγοντας τότε κάνουμε χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας  α(β+γ)=αβ+αγ . Έτσι η παράσταση 2χ+2ψ+14ω γίνεται 2χ+2ψ+14ω=2χ+2ψ+2.7ω=2(χ+ψ+7ω) που έγινε γινόμενο και τελειώσαμε.

Όταν κοιτάμε μήπως υπάρχει κάποιος κοινός παράγοντας, κοιτάμε για κοινό αριθμό ή κοινό γράμμα ή ακόμη και για κοινή παρένθεση. Δείτε τα παραδείγματα παρακάτω:

    \[2x-ax+bx^2=x(2-a+bx)\]

κοινός παράγοντας ήταν το x που υπήρχε παντου αφού 2x-ax+bx^2=2x-ax+bxx.

3k(x+y)+6a(x+y)-12b(x+y)=3(x+y)(k+2a-4b), κοινός παράγοντας ήταν το 3 που είναι κρυμμένο και στο 6 και στο 12 αλλά και η παρένθεση (χ+ψ).

Παρατηρήσεις:
α) Για να βρούμε τι θα γράψουμε μέσα στη παρένθεση αφού βγάλουμε τον κοινό παράγοντα, διαιρούμε κάθε όρο με τον κοινό παράγοντα (αν και συνήθως είναι προφανές “φαίνεται με το μάτι” και δεν κάνουμε τη διαίρεση).
β) Για να ελέγξουμε αν η παραγγοντοποίηση έγινε σωστά μπορούμε να κάνουμε επιμεριστική στο αποτέλεσμα και θα πρέπει οπωσδήποτε να προκύψει το πρώτο μέλος, δηλαδή ότι μας ήχαν δώσει στην αρχή.
γ) Μερικές φορές είναι χρήσιμο να βγάζουμε κοινό παράγοντα κάποιον αριθμό που μπροστά του να έχει πρόσημο – . Σε αυτές τις περιπτώσεις οι όροι που παραμένουν στην παρένθεση έχουν αντίθετο πρόσημο από αυτό που είχαν. Για παράδειγμα στην παράσταση 2x - 2y μπορώ να βγάλω κοινό παράγοντα το 2 και να γίνει 2x - 2y=2(x-y) αλλά θα μπορούσα να βγάλω κοινό παράγοντα και το -2, αν το ήθελα, τότε θα είχαμε 2x - 2y = -2(-x+y)=-2(y-x).
δ) Αν κάποιος παράγοντας εμφανίζεται με διαφορετικές δυνάμεις επιλέγουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα αυτόν με τη μικρότερη δύναμη. π.χ. παρακάτω το a εμφανίζετει ως a^3 στον πρώτο όρο και ως a^2 στον δεύτερο, εμείς επιλέγουμε ως κοινό παράγοντα το a^2 και αυτό γιατί το a^3=aaa και a^2=aa που σημαίνει ότι τα “κοινά a” είνα δύο (αν θελήσω να βγάλω τρια a κοινό παράγοντα τότε το a^2 δεν έχει να μου δώσει) 

    \[2a^3(x+y)^2+4a^2(x+y)^3=\]

    \[=2a^2(x+y)^2(a+2(x+y))=\]

    \[=2a^2(x+y)^2(a+2x+2y)\]

Περιεχόμενα

pdouligeris

About pdouligeris

Μαθηματικός & Συγγραφέας εκπαιδευτικών βιβλίων. Εργάζεται στο 12ο Γυμνάσιο Περιστερίου. Περισσότερα ...

View all posts by pdouligeris

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται.