Παραγοντοποίηση

Ομαδοποίηση

“Ομαδοποίηση”

Επειδή δεν θα είμαστε πάντα τυχεροί να έχουμε κοινό παράγοντα όπως στην περίπτωση της παράστασης 2ax+4ay+3bx+6by, τότε κοιτάμε μήπως αν χωρίσουμε τους όρους σε ομάδες καταφέρουμε να βρούμε κοινό παράγοντα. Πράγματι οι όροι 2ax και 4ay έχουν κοινό παράγοντα το 2a, οπότε 2ax+4ay=2a(x+2y), ενώ οι όροι 3bx και 6by έχουν κοινό παράγοντα το 3b, οπότε 3by+6by=3b(x+2y). Για να δούμε τι μπορούμε να κάνουμε τώρα, μέχρι στιγμής έχουμε

    \[2ax+4ay+3bx+6by=\]

    \[(2ax+4ay)+(3bx+6by)\]

 

    \[=2a(x+2y)+3b(x+2y)\]

Οι όροι από 4 έγιναν 2 και μάλιστα έχουν κοινό παράγοντα την παρένθεση (x+2y), άρα

    \[2αχ+4αψ+3βχ+6βψ=\]

    \[=2a(x+2y)+3b(x+2y)=\]

    \[=(x+2y)(2a+3b)\]

Ομαδοποίηση
Ομαδοποίηση

Η μέθοδος που ακολουθήσαμε εδώ λέγεται “ομαδοποίηση” ή παραγοντοποίηση κατά ομάδες και ο λόγος είναι προφανής αφού αναγκαστήκαμε να χωρίσουμε την παράσταση σε ομάδες και να βγάλουμε κοινό παράγοντα σε κάθε ομάδα χωριστά.

Παρατηρήσεις:
(α) Στη μέθοδο της ομαδοποίησης ποτέ δεν τελειώνουμε αμέσως αλλά υπάρχουν πάντα (τουλάχιστον) δύο στάδια. Αφού τελειώσουμε την παραγοντοποίηση κάθε ομάδας πρέπει οι παρενθέσεις που θα μείνουν να είναι ίδιες ή αντίθετες ώστε να ξαναβγεί κοινός παράγοντας.
(β) Αν οι παρενθέσεις που θα μείνουν κατά το πρώτο στάδιο δεν είναι ίδιες μάλλον έχουμε διαλέξει λάθος ομάδες. Ξαναδοκιμάζουμε λοιπόν παίρνοντας διαφορετικές ομάδες. π.χ. Για να παραγοντοποιήσω την ax^3+2ab+bx^2+2a^2x κάνω τα εξής:

    \[ax^3+2ab+bx^2+2a^2x=\]

    \[=(ax^3+2ab)+(bx^2+2a^2x)=\]

    \[=a(x^3+2b)+x(bx+2a^2)\]

και δεν μπορώ να συνεχίσω στο δεύτερο στάδιο αφού οι παρενθέσεις δεν είναι ίδιες κι επομένως δεν έχω κοινό παράγοντα. Αν όμως διαλέξουμε διαφορετικές ομάδες:

    \[ax^3+2ab+bx^2+2a^2x=\]

    \[=(ax^3+bx^2)+(2ab+2a^2x)=\]

    \[=x^2(ax+b)+2a(b+ax)=\]

    \[=(ax+b)(x^2+2a)\]

είμαστε εντάξει.
(γ) Αν οι παρενθέσεις που θα μας μείνουν κατά το πρώτο στάδιο της παραγοντοποίησης κατά ομάδες είναι αντίθετες αυτό διορθώνεται εύκολα αρκεί να αλλάξουμε πρόσημο έξω από μια παρένθεση (όποια θέλουμε) και να αλλάξουμε όλα τα πρόσημα μέσα σε αυτή την παρένθεση. Δείτε το

    \[x^3- x^2 - 2x +2=\]

    \[=x^2(x-1)+2(-x+1)\]

Οι παρενθέσεις είναι αντίθετες, το διορθώνω είτε αλλάζοντας πρόσημο στη πρώτη ομάδα γράφοντας – χ2 αντί για το χ2 είτε γράφοντας -2 στη δεύτερη ομάδα αντί γιά το 2 κι έτσι θα έχουμε

    \[x^3- x^2- 2x +2=\]

    \[=x^2(x-1)+2(-x+1)=\]

    \[=x^2(x-1) - 2(x-1)=\]

    \[=(x-1)(x^2 - 2)\]

Διάλεξα τελικά την δεύτερη παρένθεση έκανα το +2, -2 αλλά άλλαξα και όλα τα πρόσημα μέσα στη παρένθεση αυτή.

δ) Συνήθως για να κάνω ομαδοποίηση πρέπει οι όροι (τα κομμάτια) της αλγεβρικής παράστασης να είναι σε πλήθος ζυγός αριθμός και πάνω από δύο και φροντίζω οι ομάδες που θα χωρίσω να έχουν όλες το ίδιο πλήθος όρων π.χ. μια παράσταση με πέντε όρους δεν ξεκινάω να την λύσω με ομαδοποίηση γιατί αν χωρίσω ομάδες δεν θα είναι ισοδύναμες η μια θα έχει εστω 2 όρους και η άλλη 3 όρους. Πράγμα που σημαίνει ότι οι παρενθέσεις που θα προκύψουν μετά την παραγοντοποίηση κάθε ομάδας θα έχουν η μία 2 όρους και η άλλη 3 όρους γηλαδή αποκλείεται να βγουν ίδιες ή αντίθετες που επιθυμώ. Το ίδιο πρέπει να προσέξω όταν έχω ας πούμε 6 όρους θα πάρω ομάδες 3 ζευγάρια (2+2+2) ή θα πφτιαξω 2 ομάδες των τριών (3+3). Φυσικά όλα αυτά δεν αφορούν τις “ιδιότροπες” ασκήσεις, δεν αποτελούν κανόνα δηλαδή. Υπάρχουν ασκήσεις όπου αυτά “δεν ισχύουν”. Για το λόγο αυτό διάβασε και τη συνέχεια στην ενότητα “Συνδυασμοί”.

pdouligeris

About pdouligeris

Μαθηματικός & Συγγραφέας εκπαιδευτικών βιβλίων. Εργάζεται στο 12ο Γυμνάσιο Περιστερίου. Περισσότερα ...

View all posts by pdouligeris

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται.