Παραγοντοποίηση

Συνδυασμοί

“Συνδυασμοί”

Να σημειώσουμε εδώ ότι οι τρεις μέθοδοι που παρουσιάστηκαν προηγουμένως είναι οι συνηθέστεροι αλλά όπως αναφέραμε και πιο πάνω δεν είναι οι μοναδικοί και ότι υπάρχουν ασκήσεις που χρειάζεται να συνδυάσουμε τις παραπάνω μεθόδους ή και να αυτοσχεδιάσουμε καμιά φορά. Ας δούμε δύο τέτοιες περιπτώσεις:

π.χ.1 Για να παραγοντοποιήσω την παράσταση x2+5x+6, βλέπω ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας, σε ομάδες δεν χωρίζεται (γιατί έχω μόνο 3 όρους ), αλλά ούτε ταυτότητες υπάρχουν. Παρ’ όλα αυτά θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα τέχνασμα ώστε οι όροι από 3 να γίνουν 4 κι έτσι να δουλέψω με την μέθοδο της ομαδοποίησης. Σπάω λοιπόν τον όρο 5x σε 2x+3x (δια βάστε παρακάτω πως επέλεξα αυτά τα νούμερα γιατί δεν ήταν τυχαίο και με άλλο ζευγάρι δεν γίνεται). Τώρα να δούμε τι πετύχαμε

    \[x^2+5x+6=x^2+2x+3x+6=\]

    \[x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)\]

Παρατήρηση:
α) Το ότι επιλέξαμε να σπάσουμε το 5χ σε 2χ+3χ όπως αναφέρθηκε και παραπάνω δεν ήταν τυχαίο. Είναι μια ολόκληρη μέθοδος που την παρουσιάζει και το σχολικό βιβλίο ως η “μέθοδος τριωνύμου” που με λίγα λόγια λέει το εξής: Όταν θέλω να μετατρέψω σε γινόμενο μια παράσταση της μορφής x^2+Ax+\Gamma προσπαθώ να βρω δυο αριθμούς που αν τους προσθέσω να κάνουν Α ενώ αν τους πολλαπλασιάσω να κάνουν Γ. Αν καταφέρω να βρω αυτούς τους αριθμούς, έστω ότι αυτοί είναι ο κ και ο λ, τότε το τριώνυμο παίρνει τη μορφή (x+\kappa)(x+\lambda) . Έτσι λοιπόν στο παραπάνω παράδειγμα είχαμε: Για το τριώνυμο x^2+5x+6 αναζητούμε ένα ζευγάρι αριθμών που θα πρέπει να έχει γινόμενο ίσο με 6 και άθροισμα ίσο με 5. Πριν απαντήσουμε αμέσως ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί ας σκεφτούμε λίγο:

  1. Ξεκινάμε από το γινόμενο διότι υπάρχουν λίγες απαντήσεις. Ενώ άθροισμα 5 μπορώ να σχηματίσω με άπειρα ζευγάρια ακεραίων (π.χ. (2,3) , (6,-1) , (100,-95) κ.α.) , γινόμενο 6 μπορώ να σχηματίσω μόνο με τους: (1,6) , (2,3) , (-1,-6) και (-2,-3).
  2. Από τα παραπάνω ζευγάρια μόνο το ζευγάρι 2 και 3 πληροί τις προϋποθέσεις που έχουμε αφού το άθροισμά τους είναι 5 το δε γινόμενό τους είναι 6.
  3. Άρα έχουμε x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

Τα παραπάνω μπορούμε να τα τακτοποιήσουμε και σε ένα πινακάκι ως εξής:

    \[x^2+5x+6=(x+\kappa)(x+\lambda)\]

κλΓινόμενο = +6Άθροισμα = +5
+1+6+6+7
+2+3+6+5
-1-6+6-7
-2-3+6-5

    \[x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\]

Αυτή τη μέθοδο την παρουσιάζουμε εδώ συνοπτικά και δεν χρειάζεται να επιμείνουμε άλλο γιατί σε μερικά μαθήματα παρακάτω θα μάθουμε μια άλλη μέθοδο παραγοντοποίησης του τριωνύμου η οποία δεν παρουσιάζει τους περιορισμούς που

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου
Παραγοντοποίηση Τριωνύμου

παρουσιάζει αυτή η μέθοδος (όπως για παράδειγμα ότι εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση που ο συντελεστής του x2 είναι 1)

β) Πολλές φορές αυτή η μέθοδος αναφέρεται και ως “διάσπαση όρων” όλοι καταλαβαίνουμε το γιατί. Συνήθως δεν καταλαβαίνουμε πότε την χρειαζόμαστε, ποιον όρο να σπάσουμε και πως. Η μέθοδος της διάσπασης είναι γενικότερη από αυτή που παρουσιάσαμε παραπάνω δηλαδή μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλες περιπτώσεις εκτός του τριωνύμου. Δεν θα σταθώ περισσότερο σε αυτήν επειδή κατά τη γνώμη μου είναι “αχρει(α)στη” στους μαθητές και το άρθρο αυτό είναι ήδη τεράστιο εκτός από δύσκολο.
π.χ.2 Έστω ότι θέλω να παραγοντοποιήσω την παράσταση x4 -x3+x2 – 1. Αφού δεν υπάρχει κοινός παράγοντας πάμε για ομαδοποίηση με x4 – x3 τη μια ομάδα (που έχει κοινό παράγοντα το x3) και x2 – 1 την άλλη ομάδα που δεν έχει κοινό παράγοντα αλλά είναι ταυτότητα x2 – 1=(x – 1)(x+1). Άρα θα έχω

    \[x^4-x^3+x^2-1=(x^4-x^3)+(x^2-1)=\]

    \[x^3(x-1)+(x-1)(x+1)=\]

    \[(x-1)(x^3+(x+1))=(x-1)(x^3+x+1)\]

π.χ.3 Για να μετατρέψω σε γινόμενο την x^2+2xy+y^2+2x+2y μπορώ να κάνω ομαδοποίηση (αφού πρώτα παρατήρησα ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας) χωρίζοντας τις ομάδες “ανορθόδοξα” παίρνοντας πρώτη ομάδα τα (x^2+2xy+y^2) που δεν έχουν κοινό παράγοντα αλλά είναι ταυτότητα και θα γίνει (x^2+2xy+y^2)=(x+y)^2 και δεύτερη ομάδα με δύο κομμάτια την 2x+2y που έχει κοινό παράγοντα το 2 και θα γίνει 2x+2y=2(x+y) κι έτσι θα προκύψουν ίδιες παρενθέσεις. Ας το δούμε κι αυτό

    \[x^2+2xy+y^2+2x+2y=\]

    \[=(x^2+2xy+y^2)+(2x+2y)=\]

    \[(x+y)^2+2(x+y)=\]

    \[(x+y)[(x+y)+2]=(x+y)(x+y+2)\]

pdouligeris

About pdouligeris

Μαθηματικός & Συγγραφέας εκπαιδευτικών βιβλίων. Εργάζεται στο 12ο Γυμνάσιο Περιστερίου. Περισσότερα ...

View all posts by pdouligeris

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται.