Θέλω να μάθω να λύνω … τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται η εξίσωση στην οποία ο άγνωστος είναι «φυλακισμένος” μέσα σε κάποιο τριγωνομετρικό αριθμό. Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις (λόγω της περιοδικότητας που παρουσιάζουν οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις) έχουν άπειρες λύσεις που χωρίζονται σε δύο ομάδες. Για να μπορέσουμε να λύσουμε τριγωνομετρικές εξισώσεις θα πρέπει να ελευθερώσουμε τον άγνωστο μέσα από τον τριγωνομετρικό αριθμό, για να το πετύχουμε αυτό ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Βήμα 10

Απομονώνουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό που περιέχει τον άγνωστο στο ένα μέλος.

Βήμα 20

Βρίσκουμε μια «αρχική λύση” για την εξίσωσή μας, δηλαδή μια γωνία από 0ο εως 360ο που να ικανοποιεί την εξίσωση.

Βήμα 30

Χρησιμοποιούμε τους παρακάτω τύπους λύσεων, ανάλογα με την περίπτωση:

Τύποι λύσεων για τριγωνομετρικές εξισώσεις

Εξίσωση Λύσεις   ( {k\in\mathbb{Z}} )
\eta\mu X=\eta\mu\Theta X=2k\pi+\Theta ή X=2k\pi+(\pi-\Theta)
\sigma\upsilon\nu X=\sigma\upsilon\nu\Theta X=2k\pi\pm\Theta
\epsilon\phi X=\epsilon\phi\Theta X=k\pi+\Theta
\sigma\phi X=\sigma\phi\Theta X=k\pi+\Theta

Ας δούμε κι ένα παράδειγμα για να καταλάβουμε καλύτερα τη διαδικασία επίλυσης μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης:

Άσκηση: Να λυθεί η εξίσωση 2\sigma\upsilon\nu x-1=0

Λύση:

Βήμα 10: απομονώνουμε το συνημίτονο (το θεωρούμε ως άγνωστο, χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους και διαιρούμε με το συντελεστή του άγνωστου)

    \[2\sigma\upsilon\nu x-1=0\Leftrightarrow\]

    \[2\sigma\upsilon\nu x=1\Leftrightarrow\]

    \[\sigma\upsilon\nu x=1/2\]

Βήμα 20: Βρίσκουμε μια γωνία στο διάστημα [0 – 2π] που να ικανοποιεί την εξίσωση αυτή.

Η γωνία π/3 έχει συνημίτονο ίσο με 1/2, δηλαδή

\sigma\upsilon\nu(\pi/3)=1/2 και \sigma\upsilon\nu x=1/2

συνχ=1/2

συνχ=1/2, άρα χ=2kπ+π/3 ή χ=2kπ - π/3

άρα ισχύει

    \[\sigma\upsilon\nu x=\sigma\upsilon\nu(\pi/3)\]

Βήμα 3ο: Από τους τύπους των λύσεων παίρνω,

x=2k\pi+\pi/3   ή   x=2k\pi-\pi/3   με   k\in\mathbb{Z}

Περισσότερες λυμένες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ίσως σε ενδιαφέρουν κι αυτά:

1 Σχόλιο

  1. Άρτια οργάνωση και πλήρης τεκμηρίωση. Να συνεχίσετε έτσι και ευχαριστώ για την πολύτιμη βοήθεια!

Αφήστε μια απάντηση

Your email address will not be published.

Αυτός ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για να μειώσει τα ανεπιθύμητα σχόλια. Μάθετε πώς υφίστανται επεξεργασία τα δεδομένα των σχολίων σας.