«

»

Θέλω να μάθω να λύνω … τριγωνομετρικές εξισώσεις

Αυτό είναι το υπ' αριθμόν 2 από τα 5 συνολικά άρθρα της ενότητας Τριγωνομετρία
Διαβάστε και τα υπόλοιπα Άρθρα της ίδιας ΕΝΟΤΗΤΑΣ

Τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται η εξίσωση στην οποία ο άγνωστος είναι «φυλακισμένος» μέσα σε κάποιο τριγωνομετρικό αριθμό. Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις (λόγω της περιοδικότητας που παρουσιάζουν οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις) έχουν άπειρες λύσεις που χωρίζονται σε δύο ομάδες. Για να μπορέσουμε να λύσουμε τριγωνομετρικές εξισώσεις θα πρέπει να ελευθερώσουμε τον άγνωστο μέσα από τον τριγωνομετρικό αριθμό, για να το πετύχουμε αυτό ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Βήμα 10

Απομονώνουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό που περιέχει τον άγνωστο στο ένα μέλος.

Βήμα 20

Βρίσκουμε μια «αρχική λύση» για την εξίσωσή μας, δηλαδή μια γωνία από 0ο εως 360ο που να ικανοποιεί την εξίσωση.

Βήμα 30

Χρησιμοποιούμε τους παρακάτω τύπους λύσεων, ανάλογα με την περίπτωση:

Τύποι λύσεων για τριγωνομετρικές εξισώσεις

Εξίσωση Λύσεις   ( {k\in\mathbb{Z}} )
\eta\mu X=\eta\mu\Theta X=2k\pi+\Theta ή X=2k\pi+(\pi-\Theta)
\sigma\upsilon\nu X=\sigma\upsilon\nu\Theta X=2k\pi\pm\Theta
\epsilon\phi X=\epsilon\phi\Theta X=k\pi+\Theta
\sigma\phi X=\sigma\phi\Theta X=k\pi+\Theta

Ας δούμε κι ένα παράδειγμα για να καταλάβουμε καλύτερα τη διαδικασία επίλυσης μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης:

Άσκηση: Να λυθεί η εξίσωση 2\sigma\upsilon\nu x-1=0

Λύση:

Βήμα 10: απομονώνουμε το συνημίτονο (το θεωρούμε ως άγνωστο, χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους και διαιρούμε με το συντελεστή του άγνωστου)

    \[2\sigma\upsilon\nu x-1=0\Leftrightarrow\]

    \[2\sigma\upsilon\nu x=1\Leftrightarrow\]

    \[\sigma\upsilon\nu x=1/2\]

Βήμα 20: Βρίσκουμε μια γωνία στο διάστημα [0 – 2π] που να ικανοποιεί την εξίσωση αυτή.

Η γωνία π/3 έχει συνημίτονο ίσο με 1/2, δηλαδή

\sigma\upsilon\nu(\pi/3)=1/2 και \sigma\upsilon\nu x=1/2

συνχ=1/2

συνχ=1/2, άρα χ=2kπ+π/3 ή χ=2kπ - π/3

άρα ισχύει

    \[\sigma\upsilon\nu x=\sigma\upsilon\nu(\pi/3)\]

Βήμα 3ο: Από τους τύπους των λύσεων παίρνω,

x=2k\pi+\pi/3   ή   x=2k\pi-\pi/3   με   k\in\mathbb{Z}

Περισσότερες λυμένες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Προηγούμενο - Επόμενο άρθρο της ενότητας Τριγωνομετρία << Επίλυση της τριγωνομετρικής εξίσωσης ημχ=αΤριγωνομετρικός Κύκλος – Βιντεομάθημα >>

Ίσως σε ενδιαφέρουν κι αυτά:

1 Σχόλιο

  1. Γ. Μπαλ.

    Άρτια οργάνωση και πλήρης τεκμηρίωση. Να συνεχίσετε έτσι και ευχαριστώ για την πολύτιμη βοήθεια!

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Επιτρέπονται τα εξής στοιχεία και ιδιότητες HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>