«

»

Παραγοντοποίηση

Αυτό είναι το υπ' αριθμόν 4 από τα 15 συνολικά άρθρα της ενότητας Γ΄ Γυμνασίου-Μαθήματα
Διαβάστε και τα υπόλοιπα Άρθρα της ίδιας ΕΝΟΤΗΤΑΣ
wp-content/uploads/2013/09/C-300-150x150.png

Τι είναι η παραγοντοποίηση;

Παραγοντοποίηση είναι η μετατροπή ενός αριθμού, ή μιας αλγεβρικής παράστασης σε γινόμενο.

Γιά παράδειγμα μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 12 και να τον γράψουμε 2.6, αφού 12=2.6. Οι αριθμοί 2 και 6 λέγονται παράγοντες (ή διαιρέτες) του 12. Με την ανάλυση αριθμού σε γινόμενο δεν θα ασχοληθούμε εδώ, αυτό το

Παραγοντοποίηση

Παραγοντοποίηση

κάναμε πολλά χρόνια πριν στο Δημοτικό και στη Α΄ Γυμνασίου (θυμηθείτε την ανάλυση ενός σύνθετου αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, όπου το 12 το γράφαμε 12=2^2\cdot 3 ). Στο άρθρο αυτό θα δούμε με ποιούς τρόπους μπορούμε μια αλγεβρική παράσταση να τη παραγοντοποιήσουμε, δηλαδή να την μετατρέψουμε σε γινόμενο. Πριν ξεκινήσουμε όμως ας κάνουμε μερικές παρατηρήσεις και πρώτα απ’ όλα να πούμε ότι δεν παραγοντοποιούνται όλες οι αλγεβρικές παραστάσεις άλλες γίνονται γινόμενο κι άλλες όχι. Επίσης να πούμε ότι οι τρόποι που θα παρουσιάσουμε εδώ δεν είναι οι μοναδικοί αλλά είναι μόνο αυτοί που μπορεί να χρησιμοποιήσει ένας μαθητής της Γ΄ Γυμνασίου με αυτά που έχει διδαχθεί μέχρι τώρα  και σύμφωνα με τη νέα ύλη (έκδοση light δηλαδή). Για τους μαθητές της Α΄ Λυκείου έχουμε επιπλέον τρόπους και για τους μαθητές της Β΄ Λυκείου ακόμη περισσότερους.

Πως γίνεται η παραγοντοποίηση

Όταν μας δωθεί μια αλγεβρική παράσταση και για κάποιο λόγο πρέπει να την μετατρέψουμε σε γινόμενο ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

  1. Ελέγχουμε αν μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του Κοινού Παράγοντα. Αν ναι έχει καλώς την εφαρμόζουμε και τελειώσαμε (συνήθως) αν όχι τότε πάμε στην
  2. Μέθοδο της Ομαδοποίησης αλλά αν δεν εφαρμόζεται ούτε κι αυτή θα κοιτάξουμε μήπως μπορούμε να
  3. Κάνουμε χρήση των Ταυτοτήτων
  4. Εξετάζουμε μήπως η παράσταση που έχουμε είναι τριώνυμο

Ας δούμε όμως αυτές τις μεθόδους αναλυτικά:

Κοινός ΠαράγονταςΟμαδοποίησηΤαυτότητεςΣυνδυασμοίplus

Στην αλγεβρική παράσταση 2χ+2ψ+14ω, τα 2χ, 2ψ και 14ω λέγονται «όροι» της παράστασης. Στον όρο 2χ οι 2 και χ λέγονται παράγοντες του 2χ, ανάλογα το2 και ψ έιναι οι παράγοντες του 2ψ και οι 14 και ω οι παράγοντες του 14ω.
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 2 είναι «κοινός παράγοντας» αφού εμφανίζεται σε όλους τους όρους. Στους 2χ και 2ψ είναι προφανές ενώ στον όρο 14ω είναι κρυμμένος μέσα στο 14 (14=2.7).
Όταν λοιπόν στην παράσταση που θέλουμε να μετατρέψουμε σε γινόμενο είμαστε «τυχεροι» και υπάρχει κοινός παράγοντας τότε κάνουμε χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας ( α(β+γ)=αβ+αγ ). Έτσι η παράσταση 2χ+2ψ+14ω γίνεται 2χ+2ψ+14ω=2χ+2ψ+2.7ω=2(χ+ψ+7ω) που έγινε γινόμενο και τελειώσαμε.

Όταν κοιτάμε μήπως υπάρχει κάποιος κοινός παράγοντας, κοιτάμε για κοινό αριθμό ή κοινό γράμμα ή ακόμη και για κοινή παρένθεση. Δείτε τα παραδείγματα παρακάτω:
2χ-αχ+βχ2=χ(2 – α+βχ), κοινός παράγοντας ήταν το χ που υπήρχε παντου αφού 2χ-αχ+βχ2=2χ-αχ+βχχ.
3κ(χ+ψ)+6α(χ+ψ)-12β(χ+ψ)=3(χ+ψ)(κ+2α-4β), κοινός παράγοντας ήταν το 3 που είναι κρυμμένο και στο 6 και στο 12 αλλά και η παρένθεση (χ+ψ).

Παρατηρήσεις:

(α) Για να βρούμε τι θα γράψουμε μέσα στη παρένθεση αφού βγάλουμε τον κοινό παράγοντα, διαιρούμε κάθε όρο με τον κοινό παράγοντα (αν και συνήθως είναι προφανές και δεν κάνουμε τη διαίρεση).

π.χ. Στην παράσταση 4χψ2+2χ2ψ-2χψ κοινός παράγοντας είναι το 2χψ κι έτσι θα γράψουμε 2χψ.(κάτι). Για να βρούμε αυτό το κάτι κάνουμε 4χψ2/2χψ+2χ2ψ/2χψ-2χψ/2χψ=2ψ+χ-1.
Τελικά 4χψ2+2χ2ψ-2χψ=2χψ(2ψ+χ-1).

(β) Για να ελέγξουμε αν η παραγγοντοποίηση έγινε σωστά μπορούμε να κάνουμε επιμεριστική στο αποτέλεσμα και θα πρέπει οπωσδήποτε να προκύψει το πρώτο μέλος.

Έτσι στο προηγούμενο παράδειγμα έχουμε 2χψ(2ψ+2χ-1)=2χψ.2ψ+2χψ.2χ-2χψ.1=4χψ2+4χ2ψ-2χψ.

(γ) Μερικές φορές είναι χρήσιμο να βγάζουμε κοινό παράγοντα κάποιον αριθμό που μπροστά του να έχει πρόσημο – . Σε αυτές τις περιπτώσεις οι όροι που παραμένουν στην παρένθεση έχουν αντίθετο πρόσημο από αυτό που είχαν. Για παράδειγμα στην παράσταση 2χ – 2ψ μπορώ να βγάλω κοινό παράγοντα το 2 και να γίνει 2χ – 2ψ=2(χ-ψ) αλλά θα μπορούσα να βγάλω κοινό παράγοντα και το -2, αν το ήθελα, τότε θα είχαμε 2χ – 2ψ = -2(-χ+ψ).

(δ) Αν κάποιος παράγοντας εμφανίζεται με διαφορετικές δυνάμεις επιλέγουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα αυτόν με τη μικρότερη δύναμη. π.χ. 2α3(χ+ψ)2+4α2(χ+ψ)3=2α2(χ+ψ)2(α+2(χ+ψ))=2α2(χ+ψ)2(α+2χ+2ψ).

Επειδή δεν θα είμαστε πάντα τυχεροί να έχουμε κοινό παράγοντα όπως στην περίπτωση της παράστασης 2αχ+4αψ+3βχ+6βψ, τότε κοιτάμε μήπως αν χωρίσουμε τους όρους σε ομάδες καταφέρουμε να βρούμε κοινό παράγοντα. Πράγματι οι όροι 2αχ και 4αψ έχουν κοινό παράγοντα το 2α, οπότε 2αχ+4αψ=2α(χ+2ψ), ενώ οι όροι 3βχ και 6βψ έχουν κοινό παράγοντα το 3β, οπότε 3βψ+6βψ=3β(χ+2ψ). Για να δούμε τι μπορούμε να κάνουμε τώρα, μέχρι στιγμής έχουμε 2αχ+4αψ+3βχ+6βψ=2α(χ+2ψ)+3β(χ+2ψ). Οι όροι από 4 έγιναν 2 και μάλιστα έχουν κοινό παράγοντα την παρένθεση (χ+2ψ), άρα

2αχ+4αψ+3βχ+6βψ=2α(χ+2ψ)+3β(χ+2ψ)=(χ+2ψ)(2α+3β).

Η μέθοδος που ακολουθήσαμε εδώ λέγεται «ομαδοποίηση» ή παραγοντοποίηση κατά ομάδες και ο λόγος είναι προφανής αφού αναγκαστήκαμε να χωρίσουμε την παράσταση σε ομάδες και να βγάλουμε κοινό παράγοντα σε κάθε ομάδα χωριστά.

Παρατηρήσεις:

(α) Στη μέθοδο της ομαδοποίησης ποτέ δεν τελειώνουμε αμέσως αλλά υπάρχουν πάντα δύο στάδια. Αφού τελειώσουμε την παραγοντοποίηση κάθε ομάδας πρέπει οι παρενθέσεις που θα μείνουν να είναι ίδιες ώστε να ξαναβγεί κοινός παράγοντας.

(β) Αν οι παρενθέσεις που θα μείνουν κατά το πρώτο στάδιο δεν είναι ίδιες μάλλον έχουμε διαλέξει λάθος ομάδες. Ξαναδοκιμάζουμε λοιπόν παίρνοντας διαφορετικές ομάδες. π.χ. Για να παραγοντοποιήσω την αχ3+2αβ+βχ2+2α2χ κάνω τα εξής: αχ3+2αβ+βχ2+2α2χ=(αχ3+2αβ)+(βχ2+2α2χ)=α(χ3+2β)+χ(βχ+2α2) και δεν μπορώ να συνεχίσω στο δεύτερο στάδιο αφού οι παρενθέσεις δεν είναι ίδιες κι επομένως δεν έχω κοινό παράγοντα. Αν όμως διαλέξουμε διαφορετικές ομάδες: αχ3+2αβ+βχ2+2α2χ=(αχ3+βχ2)+(2αβ+2α2χ)=χ2(αχ+β)+2α(β+αχ)=(αχ+β)(χ2+2α) είμαστε εντάξει.

(γ) Αν οι παρενθέσεις που θα μας μείνουν κατά το πρώτο στάδιο της παραγοντοποίησης κατά ομάδες είναι αντίθετες αυτό διορθώνεται εύκολα αρκεί να βγάλουμε κοινό παράγοντα τον αντίθετο από αυτό που βγάλαμε. Δείτε το χ3 – χ2 – 2χ +2=χ2(χ-1)+2(-χ+1). Οι παρενθέσεις είναι αντίθετες, το διορθώνω είτε βγάζοντας κοινό παράγοντα στη πρώτη ομάδα το – χ2 αντί για το χ2 είτε το -2 στη δεύτερη ομάδα αντί γιά το 2 κι έτσι θα έχουμε χ3 – χ2 – 2χ +2=χ2(χ-1)+2(-χ+1)=χ2(χ-1) – 2(χ-1)=(χ-1)(χ2 – 2).

Αν τελικά είμαστε πολύ «άτυχοι» και οι δύο προηγούμενοι τρόποι δεν μπορούν να εφαρμοστούν ελέγχουμε μήπως στην παράσταση υπάρχουν ταυτότητες που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Πιο συγκεκριμένα οι ταυτότητες που πιθανόν να υπάρχουν είναι αυτές που διδαχθήκαμε φέτος, δηλαδή οι:

  • άθροισμα ή διαφορά στο τετράγωνο

        \[a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2\]

    (1)

  • άθροισμα ή διαφορά στο κύβο

        \[a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3\]

    (2)

  • διαφορά τετραγώνων

        \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

    (3)

Μια ένδειξη για το ποια ταυτότητα μπορεί να υπάρχει στην παράσταση αποτελεί το πλήθος των όρων που υπάρχουν στην παράσταση.Έτσι αν υπάρχουν 2 όροι πιθανόν να έχουμε την ταυτότητα (3), αν υπάρχουν 3 όροι πιθανόν να υπάρχει η ταυτότητα (1) και τέλος με 4 όρους ίσως να «παίζει» η ταυτότητα (2). π.χ. Θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε την παράσταση x2 – 10x+25 και κοινός παράγοντας δεν υπάρχει, σε ομάδες δεν μπορούμε να η χωρίσουμε θα ελέγξουμε την περίπτωση των ταυτοτήτων. Βλέπουμε ότι έχουμε 3 όρους οπότε υποψιαζόμαστε την ταυτότητα a2 – 2ab+b2. Παρατηρώντας την παράσταση (κι αφού ξέρω τι ψάχνω να βρω) βλέπω το x2 και το 52(=25) και γι’ αυτό το λόγο δοκιμάζω την (x – 5)2 που μου δίνει x2 – 2.x.5+52=x2 – 10x+25. Βγήκε αυτό που ελπίζαμε άρα μπορούμε τώρα να γράψουμε x2 – 10x+25=(x – 5)2.

Να σημειώσουμε εδώ ότι οι τρεις μέθοδοι που παρουσιάστηκαν προηγουμένως είναι οι συνηθέστεροι αλλά όπως αναφέραμε και πιο πάνω δεν είναι οι μοναδικοί και ότι υπάρχουν ασκήσεις που χρειάζεται να συνδυάσουμε τις παραπάνω μεθόδους ή και να αυτοσχεδιάσουμε καμιά φορά. Ας δούμε δύο τέτοιες περιπτώσεις:

π.χ.1 Για να παραγοντοποιήσω την παράσταση x2+5x+6, βλέπω ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε ομάδες δεν χωρίζεται (γιατί έχω μόνο 3 όρους ) αλλά ούτε ταυτότητες υπάρχουν. Παρ’ όλα αυτά θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα τέχνασμα ώστε οι όροι από 3 να γίνουν 4 κι έτσι να δουλέψω με την μέθοδο της ομαδοποίησης. Σπάω λοιπόν τον όρο 5x σε 2x+3x (επέλεξα αυτά τα νούμερα γιατί είναι «κρυμένα» μέσα στο 6 που έχω στην παράσταση, μην παραλείψετε να διαβάσετε την «Παρατήρηση» στο τέλος του άρθρου). Τώρα να δούμε τι πετύχαμε

    \[x^2+5x+6=x^2+2x+3x+6=\]

    \[x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)\]

Παρατήρηση: Το ότι επιλέξαμε να σπάσουμε το 5χ σε 2χ+3χ όπως αναφέρθηκε και παραπάνω δεν ήταν τυχαίο. Είναι μια ολόκληρη μέθοδος που την παρουσιάζει και το σχολικό βιβλίο ως η «μέθοδος τριωνύμου» που με λίγα λόγια λέει το εξής:
Όταν θέλω να μετατρέψω σε γινόμενο μια παράσταση της μορφής x^2+Ax+\Gamma προσπαθώ να βρω δυο αριθμούς που αν τους προσθέσω να κάνουν Α ενώ αν τους πολλαπλασιάσω να κάνουν Γ. Αν καταφέρω να βρω αυτούς τους αριθμούς, έστω ότι αυτοί είναι ο κ και ο λ, τότε το τριώνυμο παίρνει τη μορφή (x+\kappa)(x+\lambda) . Έτσι λοιπόν στο παραπάνω παράδειγμα είχαμε:

Για το τριώνυμο x^2+5x+6 αναζητούμε ένα ζευγάρι αριθμών που θα πρέπει να έχει γινόμενο ίσο με 6 και άθροισμα ίσο με 5. Πριν απαντήσουμε αμέσως ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί ας σκεφτούμε λίγο:

  1. Ξεκινάμε από το γινόμενο διότι υπάρχουν λίγες απαντήσεις. Ενώ άθροισμα 5 μπορώ να σχηματίσω με άπειρα ζευγάρια ακεραίων (π.χ. (2,3) , (6,-1) , (100,-95) κ.α.) , γινόμενο 6 μπορώ να σχηματίσω μόνο με τους: (1,6) , (2,3) , (-1,-6) και (-2,-3).
  2. Από τα παραπάνω ζευγάρια μόνο το ζευγάρι 2 και 3 πληροί τις προϋποθέσεις που έχουμε αφού το άθροισμά τους είναι 5 το δε γινόμενό τους είναι 6.
  3. Άρα έχουμε x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

Τα παραπάνω μπορούμε να τα τακτοποιήσουμε και σε ένα πινακάκι ως εξής:

    \[x^2+5x+6=(x+\kappa)(x+\lambda)\]

κ λ Γινόμενο = +6 Άθροισμα = +5
+1 +6 +6 +7
+2 +3 +6 +5
-1 -6 +6 -7
-2 -3 +6 -5

    \[x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\]

Αυτή τη μέθοδο την παρουσιάζουμε εδώ συνοπτικά και δεν χρειάζεται να επιμείνουμε άλλο γιατί σε μερικά μαθήματα παρακάτω θα μάθουμε μια άλλη μέθοδο παραγοντοποίησης του τριωνύμου η οποία δεν παρουσιάζει τους περιορισμούς που παρουσιάζει αυτή η μέθοδος (όπως για παράδειγμα ότι εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση που ο συντελεστής του x2 είναι 1)

π.χ.2 Έστω ότι θέλω να παραγοντοποιήσω την παράσταση x-x3+x2 – 1. Αφού δεν υπάρχει κοινός παράγοντας πάμε για ομαδοποίηση με x4 – x3 τη μια ομάδα (που έχει κοινό παράγοντα το x3) και x2 – 1 την άλλη ομάδα που δεν έχει κοινό παράγοντα αλλά είναι ταυτότητα x2 – 1=(x – 1)(x+1). Άρα θα έχω

    \[x^4-x^3+x^2-1=(x^4-x^3)+(x^2-1)=\]

    \[x^3(x-1)+(x-1)(x+1)=\]

    \[(x-1)(x^3+(x+1))=(x-1)(x^3+x+1)\]

Αφού είδαμε κάθε μια μέθοδο χωριστά ίσως θα ήταν καλύτερα τώρα να βλέπαμε την παραγοντοποίηση και με μια άλλη ματιά.  Πιο πάνω στο άρθρο αυτό αναφέραμε ότι για να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση ελέγχουμε με τη σειρά: ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ >> ΟΜΑΔΕΣ >> ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ >> ΤΡΙΩΝΥΜΟ. Όμως από τους όρους που έχει αυτή η αλγεβρική παράσταση κάποιες από τις παραπάνω μεθόδους θα μπορούσαν να αποκλειστούν (π.χ. με 2 όρους δεν μπορείς να κάνεις ομαδοποίηση). Έτσι θα μπορούσαμε να σκεφτόμαστε κι ως εξής:

 

Παραγοντοποίηση με
2 όρους 3 όρους 4+ όρους
Κοινός Παράγοντας
Ταυτότητα

    \[A^2-B^2\]

Τριώνυμο Ομαδοποίηση
Ταυτότητα

    \[(A\pm B)^2\]

Ταυτότητα

    \[(A\pm B)^3\]

 

Προηγούμενο - Επόμενο άρθρο της ενότητας Γ΄ Γυμνασίου-Μαθήματα << Βοήθειααα … οι Ταυτότητες!!!Παραγοντοποίηση – Λυμένες Ασκήσεις >>

Ίσως σε ενδιαφέρουν κι αυτά:

26 Σχόλια

Μεταπήδηση στη φόρμα σχολίων

  1. κατερινα χατουπη

    τελειο!!!!

    1. Φωτογραφία του/της

      Σ’ ευχαριστώ!

    2. poseidonRist

      euxaristw polu file 🙂

  2. anna khur

    εισαι τέλειος!!!!!!!!!
    σέυχαριστώ πολύ για το ξεμπέρδεμααααααααα!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    1. Φωτογραφία του/της

      Εγώ ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Αν έχεις μπερδευτεί και σε κάποιο άλλο θέμα στείλε μήνυμα να ασχοληθούμε και με αυτό.

  3. anna

    ειμαι πραγματικα ενθουσιασμενη !εξοχη δουλεια!

  4. chris man...

    ERWTHSH :

    sxetika me thn omadopoihsh…sthn (β) parathrhsh 8a prepei na pernoume ths omades opws einai k na mhn thn «anakateboume» na ta pernoume me thn seira dhladh????
    PLEASE HELP….grafw se liges meres k prepei na ta katanohsw….

    1. Φωτογραφία του/της

      Η ομαδοποίηση γίνεται με όποια σειρά σε βολεύει εσένα με απώτερο σκοπό οι παρενθέσεις που θα προκύψουν να είναι ίδιες ώστε να βγει κοινός παράγοντας η παρένθεση και να τελειώσεις.

      1. kiriakos

        Tha mporouses na me voithiseis se kati: Prepei na bgalo koino paragonta me 2/9x-4/3y kai prepei na ksekathariso poios einai o koinos paragontas tou 2/9 me 4/3 etsi oste na kano tin praksi.

        1. Φωτογραφία του/της pdouligeris

              \[\frac{2x}{9}-\frac{4y}{3}=\]

              \[\frac{2}{3}(\frac{x}{3}-2y)\]

  5. Τιγλι Λουκα

    εξοχη δουλεια..απο κει π δεν ηξερα τιποτα περι παραγοντοποιησης μεσα σε 1 ωρα τα καταλαβα ολα!!μπραβο σας!

  6. Φωτογραφία του/της denniskant
    denniskant

    euxaristo gia to 3eberdema!!!ta katalava ola

  7. Marinos Ar

    S.O.S grafw diagwnisma ayrioo ..pf;/ pws xexwrizoume ta prosima stin omadopoihsh?

    1. Φωτογραφία του/της

      Μαρίνο, η ερώτησή σου είναι λίγο ασαφής, πιστεύω όμως κι ελπίζω να μην έχω πέσει έξω, ότι θα σε καλύψω.
      Όταν έχεις μια παράσταση και θέλεις να την μετατρέψεις σε γινόμενο με την μέθοδο της ομαδοποίησης

      Μέθοδος 1ο Παράδειγμα 2ο Παράδειγμα

      Το πρώτο που σου προτείνω να κάνεις είναι να βάλεις τους όρους κάθε ομάδας μέσα σε παρενθέσεις οι οποίες θα έχουν όλες μπροστά τους + κι όλοι οι όροι μέσα στις παρενθέσεις θα πρέπει να έχουν υποχρεωτικά το ίδιο πρόσημο με αυτό που είχαν και πριν μπουν στις παρενθέσεις (δες δίπλα και το λυμένο παράδειγμα για να καταλάβεις τι εννοώ)

      \alpha\chi-\beta\chi+\alpha\psi-\beta\psi=

      (\alpha\chi-\beta\chi)+(\alpha\psi-\beta\psi)=
      \alpha\chi-\beta\chi+\alpha\psi-\beta\psi=

      (\alpha\chi+\alpha\psi)+(-\beta\chi-\beta\psi)=
      Στη συνέχεια θα πρέπει, αν έχεις επιλέξει τις σωστές ομάδες, όλες οι παρενθέσεις που θα προκύψουν να είναι ή απόλυτα ίδιες (δες το ΄1ο παράδειγμα) ή κάποιες από αυτές να είναι αντίθετες. Δηλαδή, οι όροι που βρίσκονται στην μια παρένθεση να έχουν αντίθετα πρόσημα  με τους ίδιους όρους που βρίσκονται στην άλλη παρένθεση ( δες το 2ο παράδειγμα). \chi ( \alpha -\beta )+\psi ( \alpha -\beta )=

      Στην περίπτωση αυτή βγάζεις κοινό παράγοντα την ίδια παρένθεση και τελείωσες
      ( \alpha -\beta ) ( \chi +\psi  )
      \alpha ( \chi +\psi )+\beta ( -\chi -\psi )

      Επειδή οι παρενθέσεις που θα προκύψουν πρέπει να είναι ίσες όμως εδώ είναι αντίθετες, επιλέγουμε μία από τις δύο και αλλάζουμε τα πρόσημα των όρων που βρίσκονται μέσα της. Για να είναι όμως σωστό αυτό που κάναμε (και να μην της αλλάξουμε και τα φώτα μαζί με τα πρόσημα:) ) αλλάζουμε και το πρόσημο που βρίσκεται έξω από την παρένθεση:

      \alpha( \chi +\psi )-\beta ( \chi +\psi)

      τώρα που οι παρενθέσεις είναι ίδιες προχωράμε κανονικά: ( \chi +\psi ) ( \alpha -\beta  )
      1. Αποστόλης

        Δεν ξέρω αν θα το δεις αυτό το μήνυμα αλλά σε ευχαριστώ πολύ που το επεξήγησες στο παιδί πάνω , προφανώς με βοήθησες και εμένα 🙂
        Ευχαριστώ εκ μέρους μου .

  8. diamantis anyfantis

    file se euxaristo para polu ya tin voithia dn iksera ti na kano dn ta katalavena mexri p irtha edo thnx poli

  9. Μαριος

    Γιατι δεν εισε ο δασκαλος μου Τ_Τ

  10. Ελένη Σουλιμά

    5x^3+2x^2=0 deyterova8mia e3iswsh.. poia einai h lysh?

    1. Φωτογραφία του/της

      Ελένη, το πως θα μπορέσεις να λύσεις αυτή την εξίσωση και άλλες παρόμοιες εξισώσεις θα το βρεις εδώ:.
      Αφού ρίξεις μια ματιά στον παραπάνω σύνδεσμο θα δεις ότι αυτές οι εξισώσεις λύνονται με τη βοήθεια της παραγοντοποίησης και της ιδιότητας:
      αν a\cdot b=0, τότε a=0 ή b=0.
      Έτσι αντί να λύσεις την εξίσωση 5x^3+2x^2=0 (που είναι 3ου βαθμού κι όχι δευτεροβάθμια) καταλήγεις να λύσεις ή τρεις εξισώσεις πρωτοβάθμιες ή μια πρωτοβάθμια και μια δευτεροβάθμια (αναλόγως την άσκηση).
      Δηλαδή:
      5x^3+2x^2=0\Leftrightarrow x^2(5x+2)=0, άρα θα είναι ή x^2=0\Leftrightarrow x=0 ή 5x+2=0\Leftrightarrow 5x=-2\Leftrightarrow x=-\frac{2}{5}.

  11. θωμας καραμουτσιος

    μπορειτε κυριε δουληγερη να μου στειλετε ενα καινουργιο username & password για την ιστοσελιδα σας!!!

    1. Φωτογραφία του/της

      οκ τα έστειλα στο mail σου

  12. Ντίνα

    Eυχαριστώ πολύ

  13. Deppy

    Σε παρακαλω μπορει να με βοηθησεις με αυτο τον συνδιασμο κοινου παραγοντα και διαφορας τετραγων?

    Αυτος ειναι ο συνδιασμος= α(στο τετραγωνο)-β(στο τετραγωνο)+4α-4β=
    Μπορεςι να μου την λυσεις σε παρακαλω?

    1. Φωτογραφία του/της

          \[a^2-b^2+4a-4b=\]

          \[(a^2-b^2)+(4a-4b)=\]

          \[(a-b)(a+b)+4(a-b)=\]

          \[(a-b)(a+b+4)\]

  14. Αννα

    Καλησπέρα !το χ στο τετραγωνο -y σκετο πώς λυνεται?

    1. Φωτογραφία του/της mathland
      mathland

      Γράφεις το y=\sqrt{y^2}=(\sqrt{y})^2 οπότε σχηματίζεται μια διαφορά τετραγώνων:

          \[x^2-\sqrt{y}^2=(x-\sqrt{y})(x+\sqrt{y})\]

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Επιτρέπονται τα εξής στοιχεία και ιδιότητες HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>