«

»

Οι Περιορισμοί στα Μαθηματικά του Γυμνασίου

Αυτό είναι το υπ' αριθμόν 10 από τα 15 συνολικά άρθρα της ενότητας Γ΄ Γυμνασίου-Μαθήματα
Διαβάστε και τα υπόλοιπα Άρθρα της ίδιας ΕΝΟΤΗΤΑΣ
wp-content/uploads/2013/09/C-300-150x150.png

noΌταν μαθαίνουμε κάποιους καινούργιους ορισμούς στα μαθηματικά θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί, να προσέχουμε και την παραμικρή λεπτομέρεια. Έτσι ξεκινώντας από την πρώτη τάξη όπου μάθαμε τι είναι το κλάσμα (το \frac{a}{b} με b\neq0 λέγεται κλάσμα) στον ορισμό δηλώσαμε ότι ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν μπορεί να είναι ποτέ ίσος με το μηδέν. Δεν υπάρχει περίπτωση στην αριθμητική ποτέ να δούμε κάτι τέτοιο \frac{5}{0} . Αριθμητική όμως κάναμε μόνο στο Δημοτικό, στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο κάνουμε Άλγεβρα. Η βασική διαφορά που υπάρχει είναι ότι στην αριθμητική χρησιμοποιούμαι μόνο αριθμούς ενώ στην άλγεβρα χρησιμοποιούμε και γράμματα (τις μεταβλητές όπως λέγονται πιο σωστά). Έτσι λοιπόν από ‘δω και πέρα θα συναντήσουμε πάρα πολλές φορές κλάσματα που στον παρονομαστή τους θα περιέχουν και μεταβλητές, όπως  αυτά \frac{5}{a} , \frac{a-1}{b-2} ή \frac{13y}{5-x}. Στις περιπτώσεις λοιπόν αυτές θα πρέπει να δηλώνουμε δίπλα από κάθε τέτοιο κλάσμα ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να γίνει μηδέν και για να διευκολύνουμε και αυτόν που πρόκειται να διαβάσει αυτό που γράψαμε είναι καλύτερο να γράφουμε ποια τιμή δεν επιτρέπεται να πάρει η μεταβλητή που βρίσκεται στον παρονομαστή που έχουμε. Τα κλάσματα επομένως που γράψαμε παραπάνω το σωστό θα ήταν να τα γράψουμε κάπως έτσι:

dividing-by-zero

Απαγορεύεται η διαίρεση με το Μηδέν

\frac{5}{a} όπου το a δεν μπορεί να πάρει την τιμή 0 γιατί βρίσκεται σε παρονομαστή ή πιο απλά a\neq0

\frac{a-1}{b-2} με το b-2 να μην γίνεται 0 (γιατί είναι σε παρονομαστή)  δηλαδή το b δεν επιτρέπεται να πάρει την τιμή 2, πιο σύντομα b-2\neq0\Leftrightarrow b\neq2 και

\frac{13y}{5-x} όπου επειδή το 5-x είναι σε παρονομαστή δεν επιτρέπεται να γίνει 0 άρα το χ δεν μπορεί να πάρει την τιμή 5 (5-x\neq0\Leftrightarrow x\neq5)

Ένας περιορισμός λοιπόν που υπάρχει όπως είδαμε παραπάνω είναι » Οι παρονομαστές των κλασμάτων πρέπει να είναι διάφοροι του 0″

Ένας άλλος περιορισμός που έχουμε μάθει στη Β’ Γυμνασίου και πιθανόν να πέρασε σε μερικούς απαρατήρητος είναι στον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. Όταν ορίσαμε την τετραγωνική ρίζα είπαμε:

Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού a ονομάζουμε τον μη αρνητικό αριθμό \sqrt{a} ο οποίος αν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό a, δηλαδή \sqrt{a}^2=a.

Ο παραπάνω ορισμός όχι απλώς μας λέει «φωνάζει» θα έλεγα καλύτερα για το τι δεν επιτρέπεται στη περίπτωση που έχουμε τετραγωνικές ρίζες. Μας λέει πρώτον ότι οι τετραγωνικές ρίζες δεν μπορεί να είναι αρνητικοί αριθμοί (δηλαδή μια ρίζα είναι ή 0 ή θετικός αριθμός) και δεύτερον ότι ούτε το υπόρριζο (έτσι θα λέμε από ‘δω και πέρα ότι βρίσκεται κάτω από τη ρίζα υπόρριζο=υπο+ρίζα=κάτω από ρίζα) μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός άρα και αυτό τι μπορεί να είναι; ή 0 ή θετικός. Έτσι όταν γράφουμε ρίζες όπου στο υπόρριζο εμφανίζονται μεταβλητές θα πρέπει δίπλα ακριβώς να γράφουμε και τον περιορισμό δηλαδή ΥΠΟΡΡΙΖΟ \geq0. Για παράδειγμα όταν γράφουμε \sqrt{x} για να έχει νόημα αυτό που γράψαμε θα πρέπει να δηλώσουμε ότι το x δεν μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές γιατί βρίσκεται κάτω από μία ρίζα δηλαδή το x πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή έστω ίσο με το 0 (x\geq0). Το ίδιο θα λέγαμε και στην περίπτωση που είχαμε \sqrt{x-4}, το x-4 βρίσκεται κάτω από ρίζα επομένως θα πρέπει να είναι μη αρνητικό πράγμα που σημαίνει ότι το x μπορεί να παίρνει τιμές μόνο από 4 και πάνω (φυσικά όλη αυτή η πρόταση θα μπορούσε να γραφτεί πιο σύντομα κάνοντας χρήση των συμβόλων των μαθηματικών-ευτυχώς που υπάρχουν κι αυτά- ως εξής: x-4\geq0\Leftrightarrow x\geq4).

Καταλήγοντας θα λέγαμε ότι οι περιορισμοί στα μαθηματικά του Γυμνασίου είναι :

  1. Οι παρονομαστές των κλασμάτων πρέπει να είναι διάφοροι του 0.
    ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΕΣ \neq 0
  2. Τα υπόρριζα πρέπει να είναι μεγαλύτερα ή ίσα του 0.
    ΥΠΟΡΡΙΖΑ \geq0

you

Προηγούμενο - Επόμενο άρθρο της ενότητας Γ΄ Γυμνασίου-Μαθήματα << Παραγοντοποίηση ΤριωνύμουΘέλω να μάθω … να λύνω κλασματικές εξισώσεις >>

Ίσως σε ενδιαφέρουν κι αυτά:

3 Σχόλια

  1. Θοδωρής

    Η διαίρεση με το μηδέν σε μερικούς κλάδους των μαθηματικων ( οπως η ανάλυση ) οχι μονο δεν απαγορεύεται , αλλα ειναι και απαραίτητη για την επίλυση προβλημάτων , εξάλλου το αρνητικό υπόρριζο ειναι η ΒΑΣΗ της μιγαδικής ανάλυσης!

    1. Φωτογραφία του/της

      Θοδωρή θα μου επιτρέψεις να διαφωνήσω μαζί σου απλώς όμως δεν θα μπω σε λεπτομέρειες εδώ γιατί θα βγούμε εκτός θέματος και θα κάνουμε κακό σε αυτούς που διαβάζουν το άρθρο παρά καλό. Άλλωστε στον τίτλο του άρθρου φαίνεται ότι μιλάμε για μαθηματικά Γυμνασίου. Δεν έχω καμία αντίρριση όμως να το συζητήσουμε κατ΄ιδίαν ή με προσωπικά μηνύματα αν θες. Η συζήτηση μόνο καλά αποτελέσματα έχει ακόμα και για πράγματα στα οποία διαφωνούμε 🙂

  2. xaris

    Κυριοι ειμαι μαθητης του γυμνασιου και ηθελα απλος για να λυθει η διαφονια να πω οτι ο θοδωρης εψει δικιο διοτι 0 σαν παρανομαστης υπαρχουν κλασματα και πολλες φορες εκφραζουν το απειρο νομιζω στο κλασμα ταχυτητα του φωτος δια την μαζα του αντικειμενου αυτα βεβαια δεν τα διδαχθομασυε στο γυμνασιο οποτε καλα εγινε απο τον παναγιωτη και δεν το ανεφερε 😉

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Επιτρέπονται τα εξής στοιχεία και ιδιότητες HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>