«

»

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου

Αυτό είναι το υπ' αριθμόν 9 από τα 15 συνολικά άρθρα της ενότητας Γ΄ Γυμνασίου-Μαθήματα
Διαβάστε και τα υπόλοιπα Άρθρα της ίδιας ΕΝΟΤΗΤΑΣ
wp-content/uploads/2013/09/C-300-150x150.png

 

ΑΛΓΕΒΡΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου

Για να κάνουμε ένα τριώνυμο γινόμενο αρκεί να βρούμε τις ρίζες του χ1 , χ2 και να το γράψουμε α(χ-χ1)(χ-χ2)

Την αλγεβρική παράσταση

    \[\alpha x^2+\beta x +\gamma\]

συνήθως την ονομάζουμε τριώνυμο και νομίζω ότι είναι προφανής ο λόγος αφού όπως βλέπουμε αποτελείται από τρεις μόνο όρους. Τον δευτεροβάθμιο όρο «αx2«, τον πρωτοβάθμιο όρο «βx» και από τον σταθερό όρο «γ». Για το τριώνυμο έχουμε ξαναμιλήσει σε προηγούμενο άρθρο κι έχουμε ασχοληθεί με το πως μπορούμε να βρούμε τις ρίζες του, θυμίζουμε ότι ρίζες του τριωνύμου είναι οι λύσεις της εξίσωσης

    \[\alpha x^2+\beta x +\gamma=0\]

  (αν θέλετε να το διαβάσετε αναλυτικά κάντε κλικ εδώ αν θέλετε να θυμηθείτε στα γρήγορα τη διαδικασία κάντε κλικ εδώ να δείτε τη μεθοδολογία).

Τώρα θα ασχοληθούμε με το πως μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο δηλαδή με ποιο τρόπο μπορούμε να μετατρέψουμε ένα τριώνυμο σε γινόμενο. Για την παραγοντοποίηση γενικά έχουμε αναφερθεί προηγούμενα εδώ. Επειδή όμως στο σχολικό βιβλίο η παραγοντοποίηση του τριωνύμου παρουσιάζεται αρκετά αργότερα, δεν το είχαμε αναφέρει καθόλου τότε. Έφτασε λοιπόν η ώρα να ασχοληθούμε και με αυτό το θέμα.

Όταν λοιπόν για κάποιο λόγο χρειαστεί ένα τριώνυμο να το κάνουμε γινόμενο δεν έχουμε παρά να βρούμε τις ρίζες του έστω x1 και x2 και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

    \[\alpha x^2+\beta x+\gamma=a(x-x_1)(x-x_2)\]

Ας δούμε ένα παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να μετατρέψουμε σε γινόμενο το x^2+3x-4.

Πρώτα απ” όλα πρέπει να βρούμε τις ρίζες του και για το λόγο αυτό λύνουμε την εξίσωση 

    \[x^2+3x-4=0\]

.

Έχουμε \left.\begin{matrix} \alpha=1\\ \beta=3\\ \gamma=-4\end{matrix}\right\}\Rightarrow \Delta=\beta^2-4\alpha\gamma=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=9+16=25

οπότε οι ρίζες είναι

x_1,x_2=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{-3\pm5}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_1=\frac{-3-5}{2}=-4\\x_2=\frac{-3+5}{2}=1\end{matrix}

Σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε πιο πάνω παραγοντοποιούμε το τριώνυμο με τον τύπο και παίρνουμε

    \[x^2+3x-4=1[x-(-4)](x-1)=(x+4)(x-1)\]

θα δούμε και δύο ακόμη παραδείγματα γιατί πιθανόν να δημιουργήθηκαν απορίες σε ορισμένους από εσάς για το τι κάνουμε στην περίπτωση που δεν έχουμε ρίζες ή στην περίπτωση που το τριώνυμο έχει διακρίνουσα ίση με μηδέν.

Αν ένα τριώνυμο όπως για παράδειγμα το x2+x+1 έχει διακρίνουσα αρνητική (Δ=-3) τότε όπως γνωρίζουμε δεν έχει ρίζες κι έτσι δεν μετατρέπεται σε γινόμενο.

Ενώ αν μας δωθεί  για παραγοντοποίηση ένα τριώνυμο όπως το 4x2-12x+9 θα έχουμε

\left.\begin{matrix}\alpha=4\\ \beta=-12\\ \gamma=9\end{matrix}\right\}\Rightarrow\Delta=144-4\cdot4\cdot9=144-144=0

πράγμα που σημαίνει ότι έχουμε δύο ρίζες μόνο που στην περίπτωση αυτή θα είναι ίσες μεταξύ τους. Πράγματι

    \[x_1=x_2=\frac{-\beta\pm 0}{2a}=\frac{12}{2\cdot4}=\frac{3}{2}\]

Έτσι χρησιμοποιώντας τον τύπο που δώσαμε παραπάνω παίρνουμε τελικά

    \[4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})(x-\frac{3}{2})\]

το οποίο μάλλον θα ήταν πιο όμορφο αν το γράφαμε έτσι

    \[4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})(x-\frac{3}{2})\]

    \[4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})^2\]

    \[4x^2-12x+9=2^2(x-\frac{3}{2})^2\]

    \[4x^2-12x+9=\left\{2(x-\frac{3}{2})\right\}^2\]

    \[4x^2-12x+9=(2x-3)^2\]

Παρατηρούμε λοιπόν ότι ο τύπος για την παραγοντοποίηση τριωνύμου «δουλεύει» και όταν Δ>0 (δύο ρίζες διαφορετικές) αλλά και όταν Δ=0 (δύο ρίζες ίσες). Αν και όπως βλέπουμε κι από το προηγούμενο ακριβώς παράδειγμα το4x^2-12x+9=(2x-3)^2 μας δείχνει ότι το τριώνυμο ήταν ταυτότητα αλλά δεν το είχαμε προσέξει. Αυτό όμως είναι κανόνας που ισχύει πάντα «όταν η διακρίνουσα ενός τριωνύμου είναι ίση με μηδέν το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο» κι επομένως θα ισχύει

    \[\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_1)^2\]

Συνοψίζοντας λοιπόν όλα τα παραπάνω έχουμε:

Μετατροπή τριωνύμου σε γινόμενο

Το τριώνυμο \alpha x^2+\beta x+\gamma

  • αν έχει Δ<0, δεν παραγοντοποιείται
  • αν έχει Δ=0, γίνεται \alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_1)^2
  • αν έχει Δ>0, γίνεται  \alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_1)(x-x_2)

όπου x_1 , x_2 οι ρίζες του.  

Προηγούμενο - Επόμενο άρθρο της ενότητας Γ΄ Γυμνασίου-Μαθήματα << Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσηςΟι Περιορισμοί στα Μαθηματικά του Γυμνασίου >>

14 σχόλια

Μεταπήδηση στη φόρμα σχολίων

  1. Avatar του Αναστασία
    Αναστασία

    ΕΤΣΙ ΝΑΙ ΤΟ ΚΑΤΑΛΑΒΑ!!

  2. Δημητρης

    η παραγοντοποιηση χ2+3χ-4 ..τελειωσε στο αποτελεσμα (χ+4) (χ+1)????
    Επισης στη δευτερη παραγοντοποιηση επειδη η Δ=ο πηγατε με α(χ-χ1) (χ-χ2)????

    1. Παναγιώτης Δουληγέρης
      Παναγιώτης Δουληγέρης

      Το τριώνυμο x^2+3x-4 βρήκαμε ότι έχει ρίζες τους 1 και -4 κι άρα σύμφωνα με τον τύπο:

          \[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\]

      γίνεται x^2+3x-4=(x-1)(x+4).

      Προσοχή θέλει λίγο στα πρόσημα γιατί όταν ο τύπος λέει -x_1 ή -x_2 εννοεί τον αντίθετο του χ1 και τον αντίθετο του χ2, γιαυτό και βλέπεις ότι παρότι οι ρίζες είναι 1 και -4 στις παρενθέσεις μέσα έχουν το αντίθετο πρόσημο.

      Στην δεύτερη παραγοντοποίηση επειδή η Δ=0 παίρνουμε τον τύπο

          \[ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\]

      κι αφού έχουμε βρεί ρίζα το 3/2 έχουμε 4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})^2.
      Σε όλες τις περιπτώσεις αφού παραγοντοποιήσεις το τριώνυμο κάνεις αν θες μια επιμεριστική να δεις αν σου βγάζει το αρχικό αποτέλεσμα. π.χ. στο πρώτο παράδειγμα (x-1)(x+4)=x^2+4x-x-4=x^2+3x-4

  3. Σπυρου Δαμιανος

    Ειμαι συναδελφος απο Θεσσαλονικη ) και ενιωσα την αναγκη να σε συσυγχαρω ολοθερμα για τον καταπληκτικο δικτυακο τοπο σου και ευχομαι ναχεις παντα μερακι για να συνεχισεις σ” αυτην την κατευθυνση.

  4. ΜΑΡΙΑ

    όταν Δ=0 και α<0 το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο;

    1. Παναγιώτης Δουληγέρης
      Παναγιώτης Δουληγέρης

      Όταν Δ=0, το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο ανεξάρτητα από το τι είναι το α, θετικό ή αρνητικό (εννοείται 0 δεν μπορεί να είναι για να είναι τριώνυμο).

  5. Βάκης

    Γεια σας,

    Θα ήθελα να σας ρωτήσω στο κεφάλαιο με τα όρια στην 3 λυκείου όταν έχουμε ένα τριώνυμο να παραγοντοποιήσουμε το οποίο είναι Δ<0, πως το αναλύουμε ώστε να απλοποιηθεί για να συνεχίσουμε την λύση του?

    1. mathland
      mathland

      Όταν η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική τότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες με αποτέλεσμα να μην παραγοντοποιείται.
      Αφού όμως δεν έχει ρίζες το τριώνυμο δεν μηδενίζεται ποτέ και παραμένει πάντα θετικό (αν α>0) ή πάντα αρνητικό (αν α<0).
      Υποψιάζομαι ότι η άσκηση που έχεις να λύσεις δεν θα είναι της μορφής 0/0 αλλά το όριο θα βγαίνει + ή - άπειρο κι αυτό εξαρτάται από το πρόσημο που θα έχει το κλάσμα αν λάβεις υπόψη σου και το πρόσημο του τριωνύμου όπως είπαμε παραπάνω.
      Η απάντηση στην ερώτησή σου δίνεται "με κάθε επιφύλαξη" γιατί δεν ξέρω για ποια συγκεκριμένη άσκηση μιλάς. εγώ έχω στο μυαλό μου μια άσκηση περίπου έτσι:
      f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2} τότε το όριο όταν το χ τείνει στο 0 είναι +\infty γιατί:
      α) Ο αριθμητής έχει όριο (στο 0) το 1
      β) Ο παρονομαστής έχει όριο το 0
      γ) Ο αριθμητής είναι μόνιμα θετικός (τριώνυμο με \Delta<0 και \alpha=1>0), ο παρονομαστής κοντά στο 0 είναι θετικός αφού είναι υψωμένος στο τετράγωνο. Άρα το κλάσμα είναι κοντά στο 0 (είτε απο αριστερά είτε από δεξιά) θετικό.

  6. νικοσ μικρου

    3x^4-4x^3+1=0
    θελω βοηθεια!!!

    1. Παναγιώτης Δουληγέρης
      Παναγιώτης Δουληγέρης

      Σε ποια τάξη είσαι Νίκο;
      Αν έχεις διδαχθεί το σχήμα Horner θα κάνεις σχήμα Horner με τον αριθμό 1 και θα δεις ότι το 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου.

      3 -4 0 0 1 1
      3 -1 -1 -1
      3 -1 -1 -1 0

      Σε αυτό που θα σου μείνει (πολυώνυμο 3ου βαθμού) θα ξανακάνεις Horner με το 1 και θα δεις ότι και πάλι είναι ρίζα.

      3 -1 -1 -1 1
      3 2 1
      3 2 1 0

      Αυτό που θα σου μείνει (πολυώνυμο 2ου βαθμού) θα βρεις τη διακρίνουσα η οποία βγαίνει αρνητική (α=3, β=2, γ=1, Δ=4-12=-8) που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν άλλες ρίζες.

      Έτσι τελικά η εξίσωση που έχεις έχει μια διπλή ρίζα το 1.
      Αν δεν έχεις διδαχθεί το σχήμα Horner θα κάνεις διαίρεση το πολυώνυμο 3x^4-4x^3+1 με το x-1. Η διαίρεση είναι τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης σου δίνει:3x^4-4x^3+1=(x-1)(3x^3-x^2-x-1)
      Τώρα διαιρείς το 3x^3-x^2-x-1 με το χ-1 ξανά και βρίσκεις υπόλοιπο 0 και από την ταυτότητα της διαίρεσης παίρνεις: 3x^3-x^2-x-1=(x-1)(3x^2+2x+1)
      Έτσι λοιπόν έχουμε ότι:

          \[3x^4-4x^3+1=0\Leftrightarrow(x-1)(3x^3-x^2-x-1)=0\Leftrightarrow\]

          \[(x-1)(x-1)(3x^2+2x+1)=0\Leftrightarrow\]

          \[\left\{\begin{matrix} x-1=0 & \Leftrightarrow & x=1\\   x-1=0& \Leftrightarrow &x=1 \\   3x^2+2x+1=0& ,\Delta=-8 & \alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau \eta  \end{matrix}\right.\]

  7. παρης

    ποτε οι ριζες ενος τριωνυμου ειναι ετεροσημες ποτε αντιθετες και ποτε αντιστροφες???

    1. Avatar του pdouligeris
      pdouligeris

      Αν x_1 και x_2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης \alpha x^2+\beta x+\gamma=0, τότε για να είναι:

        αντίθετες πρέπει το άθροισμά τους να είναι ίσο με το 0.
        Όμως από τους τύπους Vieta (ύλη Α΄ Λυκείου) το άθροισμα των ριζών(x_1+x_2) που συμβολίζεται με S είναι ίσο με: S=\frac{-\beta}{\alpha}. Πρέπει λοιπόν να ισχύει

            \[S=\frac{-\beta}{\alpha}=0\Leftrightarrow\beta=0\]

        αντίστροφες πρέπει το γινόμενό τους να είναι ίσο με 1.
        Όμως πάλι από τους τύπους Vieta το γινόμενο των ριζών x_1\cdot x_2=\frac{\gamma}{\alpha}. Πρέπει να ισχύει λοιπόν:

            \[\frac{\gamma}{\alpha}=1\Leftrightarrow\gamma=\alpha\]

        ετερόσημες αν ισχύει:

            \[x_1\cdot x_2<0\Leftrightarrow\frac{\gamma}{\alpha}<0\Leftrightarrow\gamma\cdot \alpha<0\]

        δηλαδή με άλλα λόγια όταν οι αριθμοί α και γ είναι ετερόσημοι.

  8. Γιωργος

    Εχω μπερδευτη με μια ισοτητα Να αποδειξετε την ισοτητα: 5χ – 2χ (3χ-1) – (6χ-1) (1-χ) =1 Μπωρει καποιος να την λυσει και να μου εξηγησει πως;

    1. Avatar του pdouligeris
      pdouligeris

      5χ – 2χ (3χ-1) – (6χ-1) (1-χ) =1

          \[5x-6x^2+2x-(6x-6x^2-1+x)=1\]

          \[5x-6x^2+2x-6x+6x^2+1-x=1\]

          \[0x+1=1\]

          \[0x=1-1\]

          \[0x=0\]

      άρα η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα όπως λέγεται γιατί επαληθεύεται για κάθε τιμή του χ.
      Ρίξε μια ματιά στα παρακάτω:
      Αόριστη και Αδύνατη εξίσωση
      Πως λύνω εξισώσεις α” βαθμού

Σχολιάστε

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Μπορεί αν θέλετε να χρησιμοποιήσετε HTML ετικετών και ιδιοτήτων: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>