«

»

Η εξίσωση της Ευθείας

Είναι γνωστό ότι η αλγεβρική μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας είναι η

Γραφική παράσταση

Κάντε κλικ στην εικόνα να δείτε το ρόλο των λ και β

y=\lambda\cdot\chi+\beta  (\epsilon), όπου

  • ο (πραγματικός) αριθμός λ  ονομάζεται «συντελεστής διεύθυνσης» και εκφράζει την κλίση της ευθείας σε σχέση με τονημιάξονα Οχ και
  • ο αριθμός β δηλώνει τη θέση πάνω στον άξονα ψ΄ψ από την οποία διέρχεται η ευθεία.

Αυτό με το οποίο θα ασχοληθούμε σήμερα είναι το πως μπορούμε να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας, δηλαδή με άλλα λόγια να υπολογίσουμε τους αριθμούς λ και β.

Για να μπορέσουμε να βρούμε την εξίσωση θα πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζουμε (να μας έχουν δώσει δηλαδή)

  1. το συντελεστή διεύθυνσης (λ) και
  2. ένα σημείο έστω Α(χΑΑ) από το οποίο διέρχεται η ευθεία που ψάχνουμε.

Για παράδειγμα ας βρούμε την ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης 2 και διέρχεται από το σημείο Α(1,3).

Λύση:

Η εξίσωση της ευθείας (\epsilon) θα έχει τη μορφή:

y=\lambda\cdot\chi+\beta

όμως μας έχουν δώσει ότι το λ=2,

y=2\cdot\chi+\beta

Για να δούμε τώρα πως θα υπολογίσουμε το β.

Έχουμε αναφέρει σε προηγούμενο άρθρο ότι,

«Όταν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης διέρχεται από κάποιο σημείο, τότε οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση (τον τύπο) της συνάρτησης αυτής»

κι έτσι

[warning]Όταν μας δίνουν εξίσωση ευθείας και σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία αυτή πάντα αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση της ευθείας.[/warning]

Ας το εφαρμόσουμε στην συγκεκριμένη περίπτωση να δούμε. Αντικαθιστούμε λοιπόν το χ με τον αριθμό 1 και το ψ με τον αριθμό 3 κι έχουμε:

y=2\cdot\chi+\beta ,για χ=1 και y=3

3=2\cdot1+\beta

προέκυψε λοιπόν μια εξίσωση με μοναδικό άγνωστο το β, το οποίο και υπολογίζουμε

3-2=\beta\Leftrightarrow\beta=1

Βρήκαμε λοιπόν ότι η ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ=2 που διέρχεται από το σημείο Α(1,3) είναι η

y=2x+1.

Σχόλια:

  • Θυμηθείτε τι έχουμε αναφέρει προηγούμενα » όσα πράγματα μας ζητούν τόσα πρέπει και να μας δίνουν γιαυτό αναζητήστε τα στην εκφώνηση της άσκησης.
[notice]

Tip 1:

Πλήθος Ζητούμενων = Πλήθος Δεδομένων

[/notice]


  • Αυτή την άσκηση είμαι σίγουρος ότι θα την χαρακτηρίσετε ως εύκολη. Σας πληροφορώ όμως ότι είναι η μοναδική κατηγορία ασκήσεων στην αναζήτηση της εξίσωσης μιας ευθείας. Οποιαδήποτε άλλη κι αν δείτε δεν έχει τίποτα  παραπάνω τίποτα λιγότερο. Αυτό που κάνει κάποιες ασκήσεις της κατηγορίας αυτής πιο σύνθετες είναι ο τρόπος με τον οποίο δίνονται τα απαραίτητα στοιχεία δηλαδή ο συντελεστής διεύθυνσης και το σημείο.
    Ακριβώς στο επόμενο άρθρο μας θα δούμε αυτό ακριβώς το «παιχνίδι», με ποιους τρόπους είναι δυνατό να δοθεί (έμμεσα) το λ και με ποιους τρόπους το σημείο.

 

[important]

Tip 2:

Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας πρέπει απαραίτητα  να μας δίνουν (άμεσα ή έμμεσα)

[gn_list style=»guard»]
  • το συντελεστή διεύθυνσης
  • ένα σημείο της.
[/gn_list] [/important]


Μέχρι τότε μπορείτε εσείς να δοκιμάσετε να λύσετε την  παρακάτω άσκηση και να μας στείλετε την απάντηση (στα σχόλια του άρθρου) καθώς κι οποιαδήποτε απορία έχετε, ή κάποιο σχόλιο που θέλετε να κάνετε.

Μπορείτε φυσικά να επικοινωνήσετε και με e-mail.

Άσκηση:

Να βρεθεί η ευθεία (3) που έχει συντελεστή διεύθυνσης διπλάσιο από τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας  (δ):2ψ+4χ=3 αν γνωρίζετε ότι το σημείο Α(-3,8) είναι σημείο της (ε).

Συνεχίζεται…>>>

4 Σχόλια

Μεταπήδηση στη φόρμα σχολίων

  1. γιαννης

    ‘Οταν έχουμε δυο σημεία σημαίνει θα κάνουμε και το πρώτο (χ,ψ) και το δέυτερο?

    1. Φωτογραφία του/της

      Γιάννη, το παραπάνω άρθρο είναι «εισαγωγικό» στο θέμα «εξίσωση ευθείας» και αφορά κυρίως μαθητές Γυμνασίου και Α΄ Λυκείου. Η απάντηση στην ερώτηση που κάνεις βρίσκεται εδώ ή κάνοντας κλικ στο τέλος του άρθρου στο σύνδεσμο «συνεχίζεται» και μάλιστα είναι η δεύτερη περίπτωση. Λυμένο παράδειγμα μπορείς να βρεις εδώ (είναι το παράδειγμα 4).

  2. Panagiotis411

    δ:2ψ+4χ=3, Α(-3,8) σημείο (ε), 2λδ=λε

    λδ=4 2λδ=8 λε=8
    ψ=λχ+β
    8=8(-3)+β
    8=-24+β
    β=-16
    άρα η εξίσωση της ευθείας είναι ψ=8χ-16

    1. Μαρία

      Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (δ) φυσικά και δεν είναι 4. Για να βρεις τον συντελεστή με αυτόν τον τρόπο η ευθεία πρέπει να είναι απαραιτήτως της μορφής ψ=λχ+β και σε καμία περίπτωση της μορφής Αχ+Βψ+Γ=0. Στην συγκεκριμένη περίπτωση λοιπόν η ευθεία πρέπει να μετατραπεί σε χρησιμοποιησιμη μορφή. Δηλαδή γίνεται 2ψ=-4χ+3 και έπειτα ψ=-2χ+3/2. Συνεπώς ο λ της (δ) είναι -2.
      Για την (ε) ισχύει:
      λε=2λδ=-4 και (-3,8) σημείο της ευθείας.
      Άρα (ε):ψ-8=-4 (χ+3)
      Ψ-8=-4χ-12
      ψ=-4χ-4
      Άρα (ε):ψ=-4χ-4 η ζητούμενη ευθεία.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Επιτρέπονται τα εξής στοιχεία και ιδιότητες HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>