«

»

Θέλω να μάθω…τι είναι η εξίσωση

Η γλώσσα των μαθηματικών

Κάνε κλικ στην εικόνα αν θες να δεις κι άλλα σύμβολα

Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα και όπως όλες οι γλώσσες χρησιμοποιεί κι αυτή σύμβολα. Για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε λοιπόν μια γλώσσα θα πρέπει να μάθουμε τι εκφράζουν τα σύμβολα που αυτή χρησιμοποιεί. Άλλα σύμβολα είναι απλά, όπως τα γράμματα και οι αριθμοί που συνδυαζόμενα μεταξύ τους μας δίνουν τις λέξεις και τις προτάσεις και άλλα είναι πιο σύνθετα και μας δίνουν κάποιες εντολές, πληροφορίες κ.α. (π.χ. τα εισαγωγικά «» που μας πληροφορούν ότι ό,τι υπάρχει μέσα σε αυτά ειπώθηκε ακριβώς κατά αυτό τον τρόπο ή το Km που δηλώνει ένα συγκεκριμένο μήκος κ.α.). Τα πιο συνηθισμένα σύμβολα στα μαθηματικά μάλλον είναι τα σύμβολα των τεσσάρων πράξεων (+,-,●,:) και τα σύμβολα της ισότητας ( = ) και της ανισότητας ( < , >, \le, \ge ).

Σωστό ή λάθος;

Με τα σύμβολα όπως προαναφέραμε φτιάχνουμε λέξεις και προτάσεις. Για παράδειγμα,

Η Ελλάδα είναι μια Ευρωπαϊκή χώρα. (πρόταση 1 )

Ο Ιούλιος είναι ο έκτος μήνας του χρόνου. ( πρόταση 2 )

Ποια είναι η πρωτεύουσα της Ιταλίας; (πρόταση 3 )

Όπως φαίνεται από τα παραπάνω παραδείγματα υπάρχουν πολλών ειδών προτάσεις ( η πρόταση 1 είναι μια καταφατική πρόταση ενώ η 3 μια ερωτηματική ) και άλλες από αυτές είναι σωστές όπως η πρόταση 1 και άλλες είναι λάθος όπως η πρόταση 2. Την πρόταση 3 δεν μπορούμε να τη χαρακτηρίσουμε ούτε σωστή αλλά ούτε και λανθασμένη. Αντικαθιστώντας όμως τη λέξη «Ποια» με το όνομα μιας πόλης θα προκύψει μια πρόταση που μπορούμε να τη χαρακτηρίσουμε:

« Η Νάπολη είναι η πρωτεύουσα της Ιταλίας» (Λ)

« Η Βαρκελώνη είναι η πρωτεύουσα της Ιταλίας» (Λ)

« Η Ρώμη είναι η πρωτεύουσα της Ιταλίας» (Σ)

Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και στα μαθηματικά. Η « 2+3=5 » είναι μια πρόταση στη γλώσσα των μαθηματικών που λέγεται ισότητα (γιατί περιέχει το σύμβολο “=”. Το 2+3 που βρίσκονται αριστερά από το = λέγονται πρώτο μέλος της ισότητας ενώ το 5 που βρίσκεται δεξιά από το = λέγεται δεύτερο μέλος της ισότητας). Η πρόταση αυτή μας πληροφορεί ότι: «το δύο και το τρία μαζί είναι ίσο, το ίδιο δηλαδή, με το πέντε». Είναι λοιπόν μια σωστή (Σ) πρόταση ενώ η πρόταση « 12 – 4 = 9 » είναι κι αυτή μια ισότητα, μόνο που μας δίνει μια λανθασμένη πληροφορία και γι αυτό την χαρακτηρίζουμε ως “λάθος” (Λ). Κάθε πρόταση στα μαθηματικά πρέπει να μπορεί να χαρακτηριστεί ως (Σ) ή (Λ).

Εξίσωση

Ας δούμε τώρα την «χ + 2 = 7». Αυτή είναι μια ισότητα αφού περιέχει το = , έχει πρώτο μέλος το χ + 2 και δεύτερο μέλος το 7. Παρατηρούμε ότι εδώ υπάρχει ένα γράμμα (το χ) που δεν μας επιτρέπει να την χαρακτηρίσουμε ούτε ως σωστή αλλά ούτε και ως λανθασμένη. Μπορούμε να διαβάζουμε τέτοιου είδους σχέσεις σαν ερωτήσεις, δηλαδή «ποιος αριθμός αν αυξηθεί κατά δύο θα γίνει ίσος με το επτά;» Αντικαθιστώντας τώρα το γράμμα χ με αριθμούς θα προκύπτει κάθε φορά μια νέα πρόταση που θα έχουμε τη δυνατότητα να τη χαρακτηρίζουμε ως σωστή ή λανθασμένη (ακριβώς ότι κάναμε και με την πρόταση 3 πιο πάνω). Έτσι μπορούμε να πάρουμε τις προτάσεις:

1 + 2 = 7 (Λ)

8 + 2 = 7 (Λ)

5 + 2 = 7 (Σ).
Αυτή λοιπόν είναι η εξίσωση , «Μια ισότητα που περιέχει τουλάχιστον ένα γράμμα». Το γράμμα αυτό ονομάζεται
μεταβλητή
(γιατί μπορεί να μεταβάλλεται αφού μπορούμε να το αντικαθιστούμε κάθε φορά

με διαφορετικούς αριθμούς και να προκύπτει όπως προαναφέραμε μια (Σ) ή μια (Λ) πρόταση). Ο αριθμός που παίρνει τη θέση του γράμματος και μας δίνει μια (Σ) ισότητα λέγεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης (στο παράδειγμά μας η λύση της χ + 2 = 7 είναι ο αριθμός 5).

Καταλήγοντας (επιτέλους), έχουμε:

o Εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει τουλάχιστον μια μεταβλητή.

o Λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης λέγεται ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση ( δηλαδή ο αριθμός που αν αντικαταστήσει τη μεταβλητή θα μας δώσει μια σωστή ισότητα).

Επόμενο άρθρο: Πότε μια εξίσωση λέγεται «αδύνατη» και πότε «αόριστη»

Ίσως σε ενδιαφέρουν κι αυτά:

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Επιτρέπονται τα εξής στοιχεία και ιδιότητες HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>