«

»

Θέλω να μάθω … πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη και πότε αόριστη

Στο προηγούμενο άρθρο μας αναφέραμε ότι εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει τουλάχιστον μια μεταβλητή (ένα γράμμα που συνήθως αποκαλούμε άγνωστο) και ότι λύση ή ρίζα της εξίσωσης λέμε τον αριθμό που επαληθεύει την εξίσωση (δηλαδή τον αριθμό που αν πάρει τη θέση του γράμματος θα προκύψει μια αληθής ισότητα.
Επίσης είχαμε αναφέρει ότι μια εξίσωση μπορούμε να την θεωρούμε σαν μια ερωτηματική πρόταση σαν μια ερώτηση δηλαδή. Αλλά όπως θα έχετε παρατηρήσει κάποιες ερωτήσεις έχουν απαντήσεις (μία ή περισσότερες ) και κάποιες δεν έχουν. Ας δούμε λίγα παραδείγματα:

Ερώτηση Απάντηση Αριθμός Απαντήσεων
Ποια μέρα της εβδομάδας έχει 10 γράμματα; Δεν υπάρχει 0
Πόσες είναι οι μέρες της εβδομάδας; 7 1
Ποιοι είναι οι καλοκαιρινοί μήνες; Ιούνιος, Ιούλιος, Αύγουστος 3
Ποια χρονιά έχει 12 μήνες; Όλες Όποιον φυσικό αριθμό και να δώσετε ως απάντηση θεωρείται σωστό

Το ίδιο συμβαίνει και με τις εξισώσεις,

Εξίσωση Ερώτηση Απάντηση-Λύση Αριθμός Λύσεων
x=-x Ποιος αριθμός είναι ίσος με τον αντίθετό του 0 1
x^2=x Ποιος αριθμός είναι ίσος με το τετράγωνό του; 0 , 1 2
x^2=-9 Ποιου αριθμού το τετράγωνο κάνει -9; Δεν υπάρχει 0

κάποιες δεν έχουν καμία λύση και λέγονται αδύνατες ενώ κάποιες άλλες έχουν μια ή και περισσότερες λύσεις. Οπότε το αν μια εξίσωση θα χαρακτηριστεί αδύνατη δεν έχει να κάνει με το πάχος της αλλά με το πλήθος των λύσεων που αυτή έχει (αδύνατη εξίσωση \Leftrightarrow πλήθος λύσεων = 0).

Επειδή οι εξισώσεις προκύπτουν από προβλήματα που έχουμε να λύσουμε ο άγνωστος παριστάνει κάτι. Άλλες φορές μπορεί να είναι χρήματα, άλλες μήκος, χρόνος ή  βάρος κτλ., γι’ αυτό θα πρέπει να προσέχουμε αν οι λύσεις που βρίσκουμε μπορούν να γίνουν δεκτές ή όχι. Έτσι, θα μπορούσε να συμβεί μια εξίσωση να είναι αδύνατη όταν οι λύσεις θέλουμε να ανήκουν σε ένα ορισμένο σύνολο ενώ να έχει λύσεις σε κάποιο άλλο. Δείτε την εξίσωση 2+x=1 ,για παράδειγμα, που στο σύνολο των Φυσικών αριθμών είναι αδύνατη (αφού κανένας Φυσικός αριθμός δεν την ικανοποιεί) ενώ αν μας έχουν πει ότι το x είναι Ακέραιος αριθμός τότε η εξίσωση έχει λύση τον αριθμό -1(σχόλιο). Αυτό μην σας φαίνεται παράξενο είναι κάτι πολύ συνηθισμένο. Φανταστείτε ότι είστε σε μια σχολική αίθουσα και ρωτάτε «ποιος μαθητής λέγεται Ισίδωρος;» το πιο πιθανό είναι να μην πάρετε καμία απάντηση και να κάνετε την ίδια ερώτηση σε μια άλλη αίθουσα όπου να πάρετε απάντηση (μια ή περισσότερες).

Ας δούμε τώρα πότε μια εξίσωση χαρακτηρίζεται ως αόριστη (ή ταυτότητα). Αν λύνοντας μια εξίσωση σε ένα συγκεκριμένο σύνολο βρούμε ότι τελικά όλοι οι αριθμοί του συνόλου αυτού επαληθεύουν την εξίσωση, δηλαδή όλοι οι αριθμοί του συγκεκριμένου συνόλου είναι λύσεις της εξίσωσης , τότε η εξίσωση λέγεται αόριστη (αφού δεν μπορούμε να ορίσουμε μια συγκεκριμένη λύση) ή ταυτότητα ( γιατί το πρώτο μέλος της εξίσωσης ταυτίζεται με το δεύτερο). Δείτε για παράδειγμα την εξίσωση 10+2x=2(x+7)-4 στην οποία κάθε αριθμός που θα αντικαταστήσει το χ θα μας δώσει και στα δύο μέλη το ίδιο αποτέλεσμα.

Καταλήγοντας λοιπόν θα μπορούσαμε να πούμε ότι,
Όταν μας δίνεται μια εξίσωση για να βρούμε τις λύσεις της παράλληλα (έστω και σιωπηρά) μας δίνεται και ένα σύνολο στο οποίο απαιτούμε να βρίσκονται οι λύσεις και

  • αν η εξίσωση δεν έχει λύσεις (στο συγκεκριμένο σύνολο) λέγεται αδύνατη, ενώ
  • αν η εξίσωση έχει λύσεις όλους τους αριθμούς (του συγκεκριμένου συνόλου) λέγεται αόριστη.

Σχόλιο: Στα μαθηματικά κάθε εξίσωση που δίνεται, δίνεται μαζί με ένα σύνολο στο οποίο εμείς θα ψάξουμε να βρούμε τις λύσεις της (αν υπάρχουν). Στα σχολικά βιβλία θα παρατηρήσετε ότι συνήθως αυτό το σύνολο δεν δίνεται. Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι το σύνολο στο οποίο αναζητούμε τις λύσεις είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών (δηλαδή όλοι οι γνωστοί μας μας μέχρι τώρα αριθμοί).  Άρα το σύνολο δίνεται πάντα έστω και «σιωπηρά»).
Επιστροφή

Ίσως σε ενδιαφέρουν κι αυτά:

3 Σχόλια

  1. maria

    πολυ καλο…με βοηθησε να ξεμπλοκαρω στα μαθηματικα…θνξ!!!!!

  2. ρανια

    δηλαδη χ=χ ειναι αοπιστη ;

    1. Φωτογραφία του/της pdouligeris

      Ναι, αφού όποια τιμή και να δώσεις στο χ θα προκύπτει μια σωστή ισότητα. Π.χ. για χ=1, γίνεται 1=1 άρα το 1 είναι λύση της εξίσωσης. Το ίδιο όμως συμβαίνει και για χ=2 (2=2) αλλά και για οποιοδήποτε άλλο αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι κάθε αριθμός είναι λύση της εξίσωσης και γι’ αυτό το λόγο την λέμε αόριστη ή ταυτότητα (γιατί το πρώτο μέλος «ταυτίζεται» πάντα με το δεύτερο μέλος)

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Επιτρέπονται τα εξής στοιχεία και ιδιότητες HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>