«

»

Θέλω να μάθω … πως να βρίσκω τις λύσεις σε μια εξίσωση 2ου βαθμού

Αυτό είναι το υπ' αριθμόν 7 από τα 15 συνολικά άρθρα της ενότητας Γ΄ Γυμνασίου-Μαθήματα
Διαβάστε και τα υπόλοιπα Άρθρα της ίδιας ΕΝΟΤΗΤΑΣ
wp-content/uploads/2013/09/C-300-150x150.png

Εξίσωση 2ου βαθμού (ή δευτεροβάθμια εξίσωση) είναι η εξίσωση που περιέχει έναν άγνωστο (π.χ. τον x) και έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή \alpha\chi^2+\beta\chi+\gamma=0 με \alpha\neq0.

Όταν μας δώσουν μια εξίσωση για να βρούμε τις λύσεις της και δεν είναι στη παραπάνω μορφή δεν γνωρίζουμε αν πράγματι είναι δευτεροβάθμια εξίσωση ή όχι. Γι’ αυτό είμαστε υποχρεωμένοι να κάνουμε κάποια «προεργασία» ώστε να είμαστε σε θέση να αντιληφθούμε το βαθμό της εξίσωσης και κατόπιν να ψάξουμε να βρούμε τις λύσεις. Γιατί με άλλο τρόπο δουλεύουμε στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, με άλλο σε αυτές που είναι δεύτερου βαθμού, διαφορετικά στις τριτοβάθμιες κ.ο.κ. Όσον αφορά στις πρωτοβάθμιες εξισώσεις έχουμε δώσει τη μεθοδολογία εδώ.

Η «προεργασία» λοιπόν που πρέπει να γίνει είναι ήδη γνωστή, θα πρέπει:

(πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους με το ΕΚΠ των παρονομαστών)

  • να διώξουμε τις παρενθέσεις
    (με χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας) και τέλος
  • να κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων
    (να «συμμαζέψουμε» την εξίσωση προσθέτοντας μεταξύ τους τους όμοιους όρους)

Σε αυτό το σημείο είμαστε σε θέση να δούμε το βαθμό της εξίσωσης και αν

  • ο άγνωστος δεν είναι υψωμένος σε καμία δύναμη, τότε έχουμε να λύσουμε μια πρωτοβάθμια εξίσωση κατά τα γνωστά (χωρίζουμε γνωστούς – άγνωστους κ.τ.λ.)
  • η μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζεται ο άγνωστος είναι το τετράγωνο, τότε είμαστε στη περίπτωση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης και η διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τις λύσεις είναι η παρακάτω:
  1. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος ώστε η εξίσωση να πάρει τη μορφή

        \[\alpha\chi^2+\beta\chi+\gamma=0\]

  2. Ξεκαθαρίζουμε ποιοι αριθμοί παίζουν το ρόλο των α, β και γ (α: ο συντελεστής του χ2, β: ο συντελεστής του χ και γ ο σταθερός όρος).
  3. Με τη βοήθεια των α, β, γ και του τύπου

        \[\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma\]

    υπολογίζουμε ένα νέο αριθμό τον Δ που λέγεται «Διακρίνουσα» (διάβασε το Σχόλιο1 παρακάτω)

  4. Από το «είδος» αυτού του αριθμού, του Δ, εξαρτάται κα το πως θα προχωρήσουμε παρακάτω. Και πιο συγκεκριμένα:
    • αν η Διακρίνουσα (Δ) είναι αρνητικός αριθμός, τότε η εξίσωση μας δεν έχει λύσεις, είναι όπως λέμε σε τέτοιες περιπτώσεις αδύνατη
    • αν η Διακρίνουσα (Δ) είναι θετικός αριθμός, τότε η εξίσωση έχει 2 λύσεις διαφορετικές μεταξύ τους και που τις υπολογίζουμε από τους τύπους

          \[\chi_1=\frac{-\beta-\sqrt{\Delta}}{2\alpha}\]

      και

          \[\chi_2=\frac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha}\]

      (διάβασε το Σχόλιο2)

    • αν η Διακρίνουσα (Δ) είναι ίση με 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ίσες λύσεις (ή όπως συνήθως λέμε μια διπλή λύση) που μπορούμε να υπολογίσουμε από τον τύπο

          \[\chi_1=\chi_2=\frac{-\beta}{2\alpha}\]

      (Σχόλιο3)

Συνοπτικά η διαδικασία που ακολουθούμε ώστε να βρούμε τις λύσεις σε μια εξίσωση της μορφής

    \[\alpha\chi^2+\beta\chi+\gamma=0\]

καθώς και οι περιπτώσεις που μπορούν να προκύψουν φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί:

Λυμένα παραδείγματα για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτά που αναφέραμε θα δείτε στο επόμενο άρθρο.

Σχόλιο1:

Η παράσταση \beta^2-4\alpha\gamma συμβολίζεται με Δ και λέγεται «Διακρίνουσα». Η ονομασία δεν είναι τυχαία γιατί η διακρίνουσα μας βοηθάει να διακρίνουμε το πλήθος των ριζών (λύσεων) της εξίσωσης. Πράγματι,

  • Δ<0\Leftrightarrow 0 λύσεις
  • Δ=0\Leftrightarrow 1 λύση διπλή
  • Δ>0\Leftrightarrow 2 λύσεις διαφορετικές

Επιστροφή

Σχόλιο2:

Οι δύο αυτοί τύποι μπορούν να γραφούν σε έναν πιο συμμαζεμένο:

    \[\chi_1,\chi_2=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\]

Επιστροφή

Σχόλιο3:

Στην πραγματικότητα ο τύπος αυτός δεν είναι κάποιος νέος τύπος που πρέπει να απομνημονεύσουμε αρκεί να ξέρουμε απ’ έξω τον προηγούμενο τύπο αφού από εκεί προκύπτει και αυτός μόνο που τώρα το Δ είναι 0. Πράγματι,

    \[\chi=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{-\beta\pm\sqrt{0}}{2\alpha}=\frac{-\beta\pm0}{2\alpha}=\frac{-\beta}{2\alpha}\]

Επιστροφή

Προηγούμενο - Επόμενο άρθρο της ενότητας Γ΄ Γυμνασίου-Μαθήματα << Εξισώσεις 2+ βαθμούΕπίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης >>

Ίσως σε ενδιαφέρουν κι αυτά:

30 Σχόλια

Μεταπήδηση στη φόρμα σχολίων

  1. Άννα-Μαρία

    ευχαριστώ με βοήθησαν πολύ……….

  2. Χρήστος

    Ειμαι γενικα εξυπνος καταλαβαίνω τα μαθηματικά απλα καποια ετσι οπως τα λεει το βιβλιο και ετσι οπως ειναι και ο καθηγητής μας……Εγω επειδη βοηθηθηκα πολλοι θα συμβουλευσω τους συμμαθητες μου να μπαινουν εδω και να ριχνουν καμια ματια……..Ευχαριστω και για την θεωρια πολυ καλογραμενη

  3. Φωτογραφία του/της Ανδρέας Φεραδούρος
    Ανδρέας Φεραδούρος

    μια ερωτηση…στο βιβλιο της α΄ λυκειου στις εξισωσεις 2ου βαθμου εχει μια ασκηση που δεν μπορω να λυσω…

        \[2x^2+(\alpha-9)x+\alpha^2+3\alpha+4=0\]

    ….να βρειτε τις τιμες του αΕR για τις οποιες η εξισωση εχει διπλη ριζα

    1. Φωτογραφία του/της

      Ανδρέα, όπως θα διάβασες και στο άρθρο παραπάνω μια εξίσωση δεύτερου βαθμού για να λυθεί πρέπει να έρθει στη μορφή: Ax^2+Bx+\Gamma=0. Το πλήθος των λύσεων που έχει αυτή η εξίσωση καθορίζεται από την Διακρίνουσα \Delta=B^2-4A\Gamma. Για να έχει αυτή η εξίσωση μια διπλή ρίζα ε’ιναι απαραίτητο η Διακρίνουσά της να είναι ίση με το 0. Άρα εμείς θα πρέπει να βρούμε για ποιες τιμές του α η Διακρίνουσα γίνεται ίση με 0. Υπολογίζουμε λοιπόν την Διακρίνουσα της εξίσωσής μας ως εξής: A=2, B= α – 9 και Γ=\alpha^2+3\alpha+4, οπότε

          \[\Delta=B^2-4A\Gamma=(\alpha-9)^2-4\cdot2(\alpha^2+3\alpha+4)=\]

          \[\Delta=\alpha^2-18\alpha+81-8\alpha^2-24\alpha-32\]

          \[\Delta=-7\alpha^2-42\alpha+49=-7(\alpha^2+6\alpha-7)\]

      Επειδή όπως προαβαφέραμε πρέπει να βρούμε πότε η Διακρίνουσα είναι ίση με το 0 γι ‘αυτό το λόγο λύνουμε την εξίσωση \Delta=0\Leftrightarrow \alpha^2+6\alpha-7=0 κι έχουμε: Α=1, Β=6 και Γ=-7 άρα

          \[\Delta=B^2-4\Alpha\Gamma=6^2-4\cdot1\cdot(-7)=36+28=64\]

      κι επομένως

          \[\alpha=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2\Alpha}\]

          \[\alpha=\frac{-6\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-6\pm8}{2}\]

      δηλαδή,

          \[\alpha=\left\{\begin{matrix} \frac{-6-8}{2}=-7 & \\  \eta' & \\  \frac{-6+8}{2}=1 &  \end{matrix}\right.\]

      Απάντηση: Για να έχει η εξίσωση μια διπλή ρίζα πρέπει το α να είναι ή -7 ή 1.

  4. maria

    otan h diakrinousa einai 8etikh briskw tis rizes k tis grafw (x-x1)(x-x2) swsta?????otan einai D=0 pws grafw thn rizaaa???

    1. Φωτογραφία του/της

      Αυτό που λες το κάνεις (με μια μικρή διόρθωση) όχι όταν θες να λύσεις την εξίσωση αλλά όταν θέλεις να μετατρέψεις το τριώνυμο σε γινόμενο (να κάνεις παραγοντοποίηση δηλαδή).
      Στην περίπτωση αυτή έχουμε:

    2. αν \Delta>0, τότε \alpha\chi^2+\beta \chi+\gamma=\alpha(\chi-\chi_1)(\chi-\chi_2) όπου \chi_1 , \chi_2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης
    3. αν \Delta=0, τότε \alpha\chi^2+\beta \chi+\gamma=\alpha(\chi-\chi_1)^2, και αυτό γιατί όταν η Διακρίνουσα είναι μηδέν το τριώνυμο έχει δύο λύσεις ίσες (\chi_1=\chi_2)
    4. αν \Delta<0 η εξίσωση δεν έχει λύσεις και το τριώνυμο δεν μετατρέπεται σε γινόμενο
    5. Αναλυτικά μπορείς να τα διαβάσεις εδώ

  • giorgos

    geia sas! prospa8w na liso mia askisi kai xriazome voi8ia.. 16x sto tetragono + x= 0

    1. Φωτογραφία του/της

          \[16x^2+x=0\]

      Η εξίσωση αυτή μπορεί να λυθεί με παραγοντοποίηση ώστε από δεύτερου βαθμού που είναι να καταλήξει σε δύο εξισώσεις πρώτου βαθμού (διάβασε κι αυτό).
      Βγάζεις λοιπόν κοινό παράγοντα το χ

          \[x(16x+1)=0\]

      κι επειδή τώρα έχεις ένα γινόμενο που κάνει μηδέν είναι σίγουρο ότι κάποιος από τους παράγοντές του θα είναι ‘ισος με μηδέν.
      x=0 ή 16x+1=0
      x=0 ή 16x=-1
      x=0 ή x=\frac{-1}{16}
      Επίσης αν το έχεις διδαχθεί στο σχολείο μπορείς να την λύσεις και με την βοήθεια των τύπων που θα βρείς εδώ ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στο άρθρο.

  • βιβιαν παπαπαναγιωτου

    πως λυνετε αυτη η ασκηση: δινεται εξισωση \lambda^2x^2 + (\lambda+1)x +(\lambda^2+2\lambda+1)=0 βρειτε τον λ ωστε η παραπανω εξισωση να εχει : α) ριζες αντιθετες Β)ριζεσ αντιστροφεσ

    1. Φωτογραφία του/της mathland
      mathland

      Βίβιαν, και για τα δύο ερωτήματα θέλουμε η εξίσωση να έχει δύο λύσεις τη μια φορά αντίθετες και την άλλη αντίστροφες. Από αυτό καταλαβαίνουμε ότι η εξίσωση που έχουμε είναι δεύτερου βαθμού κι επομένως ο συντελεστής του x^2 δεν είναι μηδέν, δηλαδή ισχύει \lambda\neq 0. Πάμε τώρα στα ερωτήματα
      Α) Για να είναι οι δύο ρίζες αντίθετες θα πρέπει να έχουν άθροισμα ίσο με μηδέν (σου θυμίζω δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι όταν το άθροισμά τους είναι ίσο με 0). Όμως το άθροισμα των ριζών του τριωνύμου (συμβολίζεται με S) ξέρουμε από τη θεωρία (τύποι Vieta) ότι είναι ίσο με -β/α. Θα πρέπει λοιπόν να ισχύει:
      -β/α=0 συνεπώς θα πρέπει να είναι β=0 όμως στην εξίσωσή σου το ρόλο του β παίζει το λ+1. Άρα θα πρεπει να είναι λ+1=0 ή αλλιώς λ=-1′
      Β) Όμοια για να είναι οι ρίζες αντίστροφες θα πρέπει το γινόμενό τους να είναι ίσο με 1. Γιατί αντίστροφοι λέγονται δύο αριθμοί όταν το γινόμενό τους είναι ίσο με 1. Το γινόμενο των ριζών όμως πάλι από τους τύπους Vieta είναι ίσο με γ/α. Θα πρέπει λοιπόν να ισχύει: γ/α=1 δηλαδή γ=α. Στην συγκεκριμένη εξίσωση το \alpha=\lambda^2 και \gamma=\lambda^2+2\lambda+1. Επομένως θα έχουμε:

          \[\lambda^2=\lambda^2+2\lambda+1\Leftrightarrow 2\lambda+1=0\Leftrightarrow \lambda=-\frac{1}{2}\]

  • βιβιαν παπαπαναγιωτου

    ευχαριστω πολυ για την απαντηση σας στο προηγουμενο ερωτημα μου! αυτη τη φορα θελω βοηθεια σε αυτη την ασκηση! οπου 2 και 3 μετα απο χ και χ1 και χ2 και λ ειναι τετραγωνα και κυβοι!
    δινεται η εξισωση x^2+\lambda x-4(\lambda^2+1)=0
    α) να αποδειχθει οτι η παραπανω εξισωση για καθε λ Ε R εχει 2 ανισες ριζεσ
    β)αν χ1 και χ2 οι ριζεσ τησ, να βρεθει ο λ ωστε x_1^3x_2+x_2^3x_1+136=0

    1. Φωτογραφία του/της

      α) \alpha=1, \beta=\lambda, \gamma=-4(\lambda^2+1)=-4\lambda^2-4

          \[\Delta=\lambda^2-4\cdot 1\cdot(-4\lambda^2-4)=\lambda^2+16\lambda^2+16=17\lambda^2+16>0\]

      κι αφού η διακρίνουσα είναι μονίμως θετική η εξίσωση έχει 2 λύσεις άνισες για οποιαδήποτε τιμή του λ.
      β) x_1^3x_2+x_2^3x_1=x_1x_2(x_1^2+x_2^2) (σχέση 1)
      Όμως:
      x_1x_2=P=\frac{\gamma}{\alpha}=-4\lambda^2-4
      x_1+x_2=S=-\frac{\beta}{\alpha}=-\lambda άρα: (x_1+x_2)^2=\lambda^2\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=\lambda^2
      από το προηγούμενο όμως έχουμε ότι x_1x_2=-4\lambda^2-4 κι επομένως:
      x_1^2+x_2^2+2(-4\lambda^2-4)=\lambda^2\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=\lambda^2+8\lambda^2+8=9\lambda^2+8
      Γυρίζουμε λοιπόν τώρα στη σχέση 1 κι έχουμε:

          \[x_1^3x_2+x_2^3x_1=x_1x_2(x_1^2+x_2^2)=\]

          \[(-4\lambda^2-4)(9\lambda^2+8)=\]

          \[-36\lambda^4-32\lambda^2-36\lambda^2-32\]

      Θέλουμε τώρα να λύσουμε την εξίσωση: x_1^3x_2+x_2^3x_1+136=0\Leftrightarrow-36\lambda^4-32\lambda^2-36\lambda^2-32+136=0 που μετά από τις πράξεις φτάνει εδώ: -36\lambda^4-68\lambda^2+104=0
      διαρούμε με το -4 για να έχουμε μικρότερους αριθμούς και καταλήγουμε σε αυτή την εξίσωση: 9\lambda^4+17\lambda^2-26=0
      η οποία για να λυθεί χρειάζεται να θέσουμε όπου \lambda^2=\omega και \lambda^4=\omega^2.
      Λύνουμε λοιπόν την: 9\omega^2+17\omega-26=0 που μας δίνει λύσεις το 1 και μια αρνητική που δεν την δεχόμαστε γιατί σαν ω έχουμε θέσει το \lambda^2 κι επομένως δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Έχουμε φτάσει επομένως στό ότι \omega=1 δηλαδή \lambda^2=1\Leftrightarrow\lambda=\pm1

  • Κωνσταντίνος

    Γεια σας! Μήπως θα μπορούσατε να μου δώσετε απάντηση στο πώς λύνεται η εξής δευτεροβάθμια εξίσωση;;;
    2x(εις την δευτέρα) + x + 5 = 0

    1. Φωτογραφία του/της pdouligeris

      2x^2+x+5=0

          \[a=2\]

          \[b=1\]

          \[c=5\]

      άρα: \Delta=b^2-4ac=1-4\cdot2\cdot5=1-40=-39
      Επειδή η διακρίνουσα είναι αρνητική η εξίσωση είναι αδύνατη.

  • Νασος

    Δίνεται η εξίσωση x2 + 2λx + λ – 2 = 0 , με παράμετρο λ∈ℝ
    α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης.
    β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ∈ℝ.

    γ) Αν 1 2 x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει:
    1 2 1 2 x + x = −x ⋅ x

    Μπορειτε να μου πειτε πως λυνεται?

    1. Φωτογραφία του/της pdouligeris

      \alpha=1, \beta=2\lambda, \gamma=\lambda-2

          \[\Delta=\beta^2-4\alpha \gamma=2^2\lambda^2-4(\lambda-2)\]

          \[\Delta=4\lambda^2-4\lambda+8=4\lambda^2-4\lambda+4+4=(\lambda-2)^2+2\]

      όμως ισχύει:
      (\lambda-2)^2\geq 0 άρα (\lambda-2)^2+2>2, δηλαδή η διακρίνουσα είναι μεγαλύτερη του 2, ανεξάρτητα από την τιμή του λ, πράγμα που σημαίνει ότι είναι πάντα θετική κι έτσι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.

  • manolis

    Γεια σας θα μπορούσατε να με βοηθήσετε με την παρακάτω δευτεροβάθμια εξίσωση??? χ²+4χ=5

    1. Φωτογραφία του/της pdouligeris

      Πρέπει να φέρεις όλους τους όρους στο πρώτο μέλος: x^2+4x-5=0 και στη συνέχεια να εφαρμόσεις τους τύπους.
      \alpha=1 \beta=-4 και \gamma=-5 άρα \Delta=\beta^2-4\alpha \gamma=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36
      επομένως αφού η διακρίνουσα είναι θετική θα έχει η εξίσωση δύο διαφορετικές λύσεις τις:
      x=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{4\pm6}{2} δηλαδή x=5 ή x=-1

  • Κάτια

    Γεια σας! Δεν μπορω να καταλαβω τι γινεται με το S,P ! ουτε το βιβλιο με βοηθαει ουτε η καθηγητρια … γινετε να κανουμε κατι στην προκειμενη περιπτωση? (Τη Δευτερα δινω αλγεβρα , οποτε απαντηστε οσο πιο γρηγορα μπορειτε και αν μπορειτε παρακαλω)! Ευχαριστω για το χρονο σας!

  • Μίνα

    Καλησπέρα! Σε μελέτη συνάρτησης όπου Δ<0, λέμε ότι είναι αδύνατη. Συνεχίζουμε μετά κανονικά να βρούμε κυρτότητα; Σκέφτομαι ότι όταν μια συνάρτηση είναι αδύνατη, τότε και η καμπύλη που την απεικονίζει δεν υπάρχει. Άρα ποιος ο λόγος να βρω κυρτότητα σε μια ανύπαρκτη καμπύλη;
    Να σημειώσω ότι η λύση της πρέπει να γίνει αποκλειστικά με πραγματικούς αριθμούς…
    Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

    1. Φωτογραφία του/της

      Μίνα, δεν ακριβώς έτσι τα πράγματα όπως τα φαντάζεσαι. Όταν μελετάς μια συνάρτηση (ας την πούμε f) ως προς την κυρτότητα κάνεις τα παρακάτω:
      Πρώτα βρίσκεις την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης (που την συμβολίζουμε με f΄ ).
      Μετά βρίσκεις την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης (δηλαδή την παράγωγο της παραγώγου αυτή συμβολίζεται με f΄΄ )
      Αυτό που σε ενδιαφέρει τώρα είναι το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου, δηλαδή πότε (για ποιες τιμές της μεταβλητής χ) η f΄΄ είναι θετική και πότε αρνητική και αυτό γιατί αν γνωρίζεις ότι η δεύτερη παράγωγος είναι θετική συμπεραίνεις ότι η συνάρτηση f που μελετάς στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ενώ σε αντίθετη περίπτωση (f΄΄ αρνητική) στρέφει τα κοίλα κάτω.
      Πως όμως βρίσκεις το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου;
      Βάζεις τη δεύτερη παράγωγο ίση με το 0 και λύνεις την εξίσωση f΄΄ = 0 και αυτό γιατί το πρόσημο αλλάζει συνήθως εκεί που μηδενίζεται δηλαδή στις ρίζες της f΄΄. Αν τώρα τυχαίνει να μην έχει ρίζες συμπεραίνουμε ότι η δεύτερη παράγωγος είναι μονίμως και για οποιαδήποτε τιμή του χ θετική ή μόνιμα αρνητική, δηλαδή όπως λέμε διατηρεί σταθερό πρόσημο. κι έτσι η η συνάρτηση που μελετάς θα στρέφει συνεχώς τα κοίλα προς τα πάνω ή συνέχεια προς τα κάτω.
      Θα σου δώσω μερικά παραδείγματα για να γίνω λίγο πιο συγκεκριμένος.
      1. Έστω f(x)=x^2-5x+6 τότε η πρώτη παράγωγος της είναι η f'(x)=2x-5 και η δεύτερη παράγωγος είναι f΄΄(x)=2. Βλέπυμε λοιπόν ότι η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με 2 δηλαδή πάντα θετική και συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω.
      2. Έστω μια συνάρτηση f τώρα που έχει ως δεύτερη παράγωγο την f΄΄(x)= 2x – 4. Αυτή δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο αλλά εξαρτάται από τι τιμή θα πάρει το x. Για παράδειγμα όταν το x = 10, f΄΄(10) =20 – 4 = 16 ενώ όταν x = 1 f΄΄(1) = -2. Για να βρούμε λοιπόν το πότε είναι θετική και πότε αρνητική η f΄΄ λύνουμε την εξίσωση f΄΄(x)=0 \Leftrightarrow2x-4=0\Leftrightarrow x=2 . Όπως είπαμε προηγούμενα το πρόσημο της αλλάζει (αν αλλάζει) εκεί που είναι η ρίζα της στο συγκεκριμένο παράδειγμα στο 2. Βάζεις λοιπόν δύο τιμές στη θέση του χ στο τύπο της δεύτερης παραγώγου μία μεγαλύτερη του 2 (όπως έκανα εγώ παραπάνω που έβαλα το 10) και βλέπεις ότι το αποτέλεσμα είναι θετικό και άρα για κάθε χ μεγαλύτερο του 2 η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, βάζεις και μια τιμή μικρότερη του 2 (εγώ τυχαία έβαλα το 1) και παρατηρείς ότι το αποτέλεσμα είναι αρνητικό οπότε η f στρέφει τα κοίλα κάτω για κάθε χ μικρότερο του 2.
      3. Αν μια συνάρτηση f έχει f΄΄(x)=x^2-4x+3 βρίσκεις τις ρίζες που είναι το 1 και το 3 και δοκιμάζεις: έναν αριθμό μεγαλύτερο του 3 και βλέπεις ότι το αποτέλεσμα βγαίνει θετικό, μετά δοκιμάζεις έναν αριθμό μεταξύ του 1 και του 3 και βλέπεις ότι το αποτέλεσμα βγαίνει αρνητικό ενώ δοκιμάζοντας έναν αριθμό μικρότερο του 1 το αποτέλεσμα θα σου βγει θετικό. Άρα για κάθε χ μικρότερο του 1 ή μεγαλύτερο του 3 η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα πάνω ενώ για οποιοδήποτε χ μεταξύ 1 και 3 στρέφει τα κοιλα κάτω.
      4. Αν τώρα μια συνάρτηση f έχει δεύτερη παράγωγο την f΄΄(x)=x^2+x+1 η οποία έχει διακρίνουσα αρνητική κι επομένως δεν έχει ρίζες (αδύνατη όπως λες) αυτό σημαίνει ότι δεν αλλάζει πρόσημο δηλαδή για κάθε τιμή του χ θα έχει πάντα το ίδιο πρόσημο. Πως το βρίσκεις αυτό; και πάλι με δοκιμή: βάζεις μια οποιαδήποτε τιμή στο χ έστω το 1 που είναι εύκολο και βλέπεις ότι η δεύτερη παράγωγος βγαίνει 3, θετική άρα η συνάρτηση f θα στρέφει σε όλο το πεδίο ορισμού της για οποιοδήποτε χ τα κοίλα προς τα πάνω.
      Ελπίζω να σε βοήθησα, αν έχεις ακόμη απορίες μπορείς να με ξαναρωτήσεις.

  • Λίζα

    SOS !!! θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει να λύσω εξισώσεις 2 βαθμού όπως:
    1) Δίνεται η εξίσωση χ στη δευτέρα -(2 λ+1)χ + λ=0 α) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει 2 άνισες πραγματικές ρίζες για κάθε λ ανήκει R. β) Αν χ1, χ2 οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει χ1+χ2=4χ1χ2-λ.
    2) Δίνεται η εξίσωση χ στη δευτέρα-(λ στη δευτέρα +5)χ +18=0.Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες , όπου μία ρίζα είναι διπλάσια της άλλης, τότε να βρείτε τις ρίζες και την τιμή του λ.
    3) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η μία ρίζα της εξίσωσης χ στη δευτέρα -6 χ +3 λ=0 να είναι το τετράγωνο της άλλης .
    4) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ρίζες της εξίσωσης χ στη δευτέρα – λ χ -λ-5=0 να ικανοποιούν την σχέση: Χ1 στη δευτέρα – Χ1Χ2+Χ2 στη δευτέρα =19
    Σας Ευχαριστώ!!

    1. Φωτογραφία του/της

      1) Για να έχει η εξίσωση 2 άνισες πραγματικές ρίζες θα πρέπει η Διακρίνουσά της να είναι θετική. Όμως η Διακρίνουσα της είναι η \Delta=\beta^2-4\alpha\gamma με \alpha=1, \beta=-(2\lambda+1), \gamma=\lambda, άρα η διακρίνουσα είναι \Delta=(2\lambda+1)^2-4\lambda=4\lambda^2+4\lambda+1-4\lambda=4\lambda^2+1. Βλέπουμε λοιπόν ότι η Δ είναι πάντα θετική πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση θα έχει 2 άνισες λύσεις.
      β)Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των ριζών \chi_1+\chi_2=\frac{-\beta}{\alpha}=\frac{2\lambda+1}{1}=2\lambda+1 ενώ το γινόμενο των ριζών \chi_1\cdot\chi_2=\frac{\gamma}{\alpha}=\lambda. Έτσι λοιπόν η σχέση που μας έχουν δώσει γίνεται:

          \[\chi_1+\chi_2=4\chi_1\cdot\chi_2-\lambda\Leftrightarrow2\lambda+1=4\lambda-\lambda\]

      Λύνουμε τώρα την εξίσωση αυτή (άγνωστος είναι το λ) και βρίσκουμε:

          \[2\lambda-4\lambda+\lambda=-1\Leftrightarrow-\lambda=-1\Leftrightarrow\lambda=1\]

    2. Φωτογραφία του/της

      2) Ας υποθέσουμε ότι η μια ρίζα η x_1 είναι η μικρότερη ρίζα ενώ η άλλη, η x_2 είναι η μεγαλύτερη αυτή που είναι διπλάσια από την άλλη. Άρα θα ισχύει: x_2=2x_1. Γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι για το άθροισμα των ριζών ισχύει:

          \[x_1+x_2=\frac{-\beta}{\alpha}\Leftrightarrow x_1+2x_1=\frac{\lambda+5}{1}\Leftrightarrow\]

          \[3x_1=\lambda+5\]

      ενώ για το γινόμενο των ριζών ισχύει:

          \[x_1\cdot x_2=\frac{\gamma}{\alpha}\Leftrightarrow x_1\cdot 2x_1=18\Leftrightarrow\]

          \[2x_1^2=18\Leftrightarrow x_1^2=9\]

      άρα x_1=3 ή x_1=-3.
      Όμως αν το x_1=3 τότε θα είναι x_2=2x_1=2\cdot3=6 ενω το λ θα είναι 3x_1=\lambda+5\Leftrightarrow 3\cdot3=\lambda+5\Leftrightarrow 4=\lambda.
      Στην περίπτωση που το x_1=-3, το x_2=-6 και το \lambda=-14

    3. Φωτογραφία του/της

      3) Αν είναι x_2=x_1^2 θα ισχύει:

          \[x_1+x_2=\frac{-\beta}{\alpha}\Leftrightarrow x_1+x_1^2=6\Leftrightarrow x_1^2+x_1-6=0\]

      και

          \[x_1\cdot x_2=\frac{\gamma}{\alpha}\Leftrightarrow x_1\cdot x_1^2=3\lambda\Leftrightarrow\lambda=\frac{x_1^3}{3}\]

      . Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι x_1=-3 ή x_1=2, οπότε από τη δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε το λ,

          \[\lambda=\frac{x_1^3}{3}=\frac{(-3)^3}{3}=-9\]

      ή

          \[\lambda=\frac{x_1^3}{3}=\frac{3^3}{3}=9\]

    4. Φωτογραφία του/της

      4) x_1^2-x_1x_2+x_2^2=19\Leftrightarrow x_1^2-x_1x_2+x_2^2+3x_1x_2=19+3x_1x_2\Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=19+3x_1x_2\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2=19+3x_1x_2\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-3x_1x_2=19\Leftrightarrow \lambda^2-3(-\lambda-5)=19\Leftrightarrow \lambda^2+3\lambda-4=0\Leftrightarrow \lambda=-4 ή \lambda=1

  • χριστινα

    θα μπει στις εξετασεις και θελω βοηθεια πως λυνεται.
    »Δινεται η εξισωση x2+λχ-λ+3=0.
    Να βρεθουν οι τιμες του λ για τις οποιες η εξισωση:
    α) εχει 1 διπλη ριζα
    β) εχει 2 ριζες ανισες
    γ) είναι αδυνατη.

    1. Φωτογραφία του/της

          \[x^2+\lambda x-(\lambda-3)=0\]

      Είναι εξίσωση 2ου βαθμού και θα βρούμε την Διακρίνουσα: α=1, β=λ, γ=-λ+3

          \[\Delta=\beta^2-4\alpha\cdot\gamma=\lambda^2-4(-\lambda+3)\]

          \[\Delta=\lambda^2+4\lambda-12\]

      Παρατηρούμε ότι η Διακρίνουσα είναι πολυώνυμο 2ου βαθμού, και για να απαντήσουμε στα παρακάτω ερωτήματα θα πρέπει να βρούμε τη σχέση της με το 0. Δηλαδή πότε η Διακρίνουσα γίνεται 0, πότε θετική και πότε αρνητική. Και αυτό γιατί σύμφωνα με τη θεωρία ισχύουν:
      1 διπλή ρίζα αν και μόνο αν Δ=0,
      2 ρίζες άνισες αν και μόνο αν Δ>0 και τέλος
      αδύνατη αν και μόνο αν Δ<0
      Λύνουμε λοιπόν την εξίσωση Δ=0

          \[\lambda^2+4\lambda-12=0\]

      α=1, β=4, γ=-12

          \[\Delta=4^2-4\cdot(-12)=16+48=64\]

          \[\lambda=\frac{-\beta\pm\sqr{\Delta}}{-2\alpha}=\frac{-4\pm8}{2}\]

      άρα οι ρίζες της Διακρίνουσας είναι: λ=-6, λ=2
      (α) Για να έχει μια διπλή ρίζα πρέπει η Διακρίνουσα να είναι ίση με 0, αρα το λ πρέπει να είναι ίσο με -6 ή 2
      (β) Για να έχει η εξίσωση 2 ρίζες άνισες θα πρέπει η Διακρίνουσα να είναι θετική. Αυτό συμβαίνει όταν το λ παίρνει τιμές έξω από το διάστημα των ριζών θα πρέπει λοιπόν το λ να είναι είτε μικρότερο του -6 είτε μεγαλύτερο του 2 (λ< -6 ή λ>2)
      (γ) Για να είναι αδύνατη πρέπει το λ να παίρνει τιμές στο διάστημα ανάμεσα στις ρίζες δηλαδή να ισχύει -6<λ<2.

  • Ναταλια

    Γεια σας μηπως θα μπορουσατε να με βοηθησετε με την παρακάτω εξίσωση χ^2 + 2χ = 10 – y.

    i) να βρουμε το χ οταν το y=0
    ii) να βρουμε το y οταν το χ =0

    Ευχαριστω εκ των προτερων

    1. Φωτογραφία του/της mathland
      mathland

      x^2+2x=10-y αφού y=0 γίνεται: x^2+2x=10\Leftrightarrow x^2+2x-10=0 a=1, b=2, c=-10 και \Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-10)=4+40=44 άρα x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{44}}{2} ενώ αν x=0, έχουμε: 0^2+2\cdot0=10-y\Leftrightarrow 0=10-y\Leftrightarrow y=10

  • Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Επιτρέπονται τα εξής στοιχεία και ιδιότητες HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>