«

»

Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Αυτό είναι το υπ' αριθμόν 8 από τα 15 συνολικά άρθρα της ενότητας Γ΄ Γυμνασίου-Μαθήματα
Διαβάστε και τα υπόλοιπα Άρθρα της ίδιας ΕΝΟΤΗΤΑΣ
wp-content/uploads/2013/09/C-300-150x150.png

Αφού είδαμε θεωρητικά το πως μπορούμε να βρούμε τις λύσεις μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, καλό θα ήταν να το εφαρμόσουμε και στην πράξη

Άσκηση1
Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς χ που ικανοποιούν τη σχέση \frac{2\chi^2+1}2-\frac{2\chi}3=1-\frac{2-x}6

[gn_spoiler title=»Λύση1″] θα προσπαθήσουμε να κάνουμε τη σχέση(εξίσωση) που μας έχουν δώσει όσο το δυνατόν πιο απλή ξεκινώντας από το να διώξουμε τους παρονομαστές. Αυτό γίνεται αν πολλαπλασιάσουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ των παρονομαστών 2,3 και 6 που είναι το 6 οπότε προκύπτει:

    \[\frac{2\chi^2+1}2-\frac{2\chi}3=1-\frac{2-x}6\Leftrightarrow\]

    \[6\frac{2\chi^2+1}{2}-6\frac{2\chi}{3}=6\cdot1-6\frac{2-x}{6}\]

που μετά τις απλοποιήσεις γίνεται:

    \[3(2\chi^2+1)-2\cdot2\chi=6-(2-\chi)\]

προσέξτε ότι όταν ένας αριθμητής αποτελείται από δύο ή περισσότερους όρους είμαστε υποχρεωμένοι να τον βάλουμε σε παρένθεση μετά την απαλοιφή των παρονομαστών.

Τώρα θα διώξουμε τις παρενθέσεις κάνοντας επιμεριστική ιδιότητα και προσέχοντας μη τυχόν και υπάρχει «-» έξω από κάποια παρένθεση γιατί τότε θα πρέπει να αλλάξουμε πρόσημα σε όλους τους όρους που βρίσκονται μέσα στη παρένθεση αυτή. Έτσι έχουμε,

    \[3(2\chi^2+1)-2\cdot2\chi=6-(2-\chi)\Leftrightarrow\]

    \[6\chi^2+3-4\chi=6-2+\chi\]

Έφυγαν και οι παρενθέσεις και μας μένει τώρα η αναγωγή των όμοιων όρων. Επειδή όμως παρατηρούμε ότι η εξίσωση είναι 2ου βαθμού (αφού υπάρχει ο όρος 6\chi^2 )  θα τα μαζέψουμε όλα στο ένα μέλος, έστω στο πρώτο, και μετά θα κάνουμε την αναγωγή.

    \[6\chi^2+3-4\chi=6-2+\chi\Leftrightarrow\]

    \[6\chi^2+3-4\chi-6+2-\chi=0\Leftrightarrow\]

    \[6\chi^2-5\chi-1=0\]

Από εδώ και κάτω θα ακολουθήσουμε τη διαδικασία που είδαμε στο προηγούμενο άρθρο. Πιο συγκεκριμένα ,

  1. Ξεκαθαρίζουμε ποιοι αριθμοί παίζουν το ρόλο των α, β και γ
    \alpha=6, \beta=-5 και \gamma=-1
  2. Υπολογίζουμε τη Διακρίνουσα

        \[\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma\]

        \[\Delta=(-5)^2-4(+6)(-1)\]

        \[\Delta=25+24=49\]

    Αφού η Διακρίνουσα μας προέκυψε θετική, γνωρίζουμε ότι η εξίσωση θα έχει 2 διαφορετικές λύσεις τις οποίες και θα υπολογίσουμε από τους γνωστούς τύπους

  3. Υπολογίζουμε τις λύσεις

        \[\chi_1,\chi_2=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}\]

        \[\chi_1,\chi_2=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2(+6)}\]

        \[\chi_1,\chi_2=\frac{5\pm7}{12}\]

    άρα \chi_1=\frac{5+7}{12} ή \chi_2=\frac{5-7}{12}
    επομένως \chi_1=\frac{12}{12}=1 ή \chi_2=\frac{-2}{12}=-\frac{1}{6}

Έτσι λοιπόν καταλήξαμε στο ότι η εξίσωση \frac{2\chi^2+1}2-\frac{2\chi}3=1-\frac{2-x}6 έχει λύση τον αριθμό 1 ή τον -1/6. Αλλά ο αριθμός -1/6 δεν είναι φυσικός κι επομένως δεν μπορούμε να τον συμπεριλάβουμε στην απάντησή μας η οποία θα πρέπει να είναι:

Ο φυσικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση \frac{2\chi^2+1}2-\frac{2\chi}3=1-\frac{2-x}6 είναι ο αριθμός 1.
[/gn_spoiler]

Άσκηση2
Να υπολογιστεί η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου που οι κάθετες πλευρές του είναι ρίζες της εξίσωσης y^2-2y=-1

[gn_spoiler title=»Λύση2″] Πρώτα απ’ όλα θα βρούμε τις ρίζες (λύσεις) της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

    \[y^2-2y=-1\Leftrightarrow\]

    \[y^2-2y+1=0\]

\alpha=1,\beta=-2,\gamma=1 άρα

    \[\Delta=\beta^2-4\alpha\cdot\gamma=(-2)^2-4(1)(1)=4-4=0\]

αφού η διακρίνουσα είναι ίση με 0 η εξίσωσή μας έχει δύο ίσες λύσεις τις

    \[y_1=y_2=\frac{-\beta}{2\alpha}=\frac{2}{2}=1\]

.
Πάμε τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνο για το οποίο γνωρίζουμε το μήκος των κάθετων πλευρών του ότι είναι 1 και 1 (είναι ισοσκελές) και θέλουμε να βρούμε το μήκος της υποτείνουσάς του. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Πράγματι έστω x η υποτείνουσα, τότε έχουμε:

    \[x^2=1^2+1^2\Leftrightarrow\]

    \[x^2=2\]

κι έτσι

    \[x=\sqrt{2}\]

.
[/gn_spoiler]

Προηγούμενο - Επόμενο άρθρο της ενότητας Γ΄ Γυμνασίου-Μαθήματα << Θέλω να μάθω … πως να βρίσκω τις λύσεις σε μια εξίσωση 2ου βαθμούΠαραγοντοποίηση Τριωνύμου >>

Ίσως σε ενδιαφέρουν κι αυτά:

6 Σχόλια

Μεταπήδηση στη φόρμα σχολίων

  1. katerina

    θα ηθελα να με βοηθεσετε με τις εξης εξισωσεις
    αχ+αy+βχ+βy=

    1. Φωτογραφία του/της

      Αυτό που μου έχεις γράψει Κατερίνα δεν είναι εξίσωση. Υποθέτω ότι είσαι στην Τρίτη τάξη και θέλεις να κάνεις γινόμενο την παράσταση αχ+αψ+βχ+βψ.
      Για να μπορέσεις να καταλάβεις τον τρόπο θα πρέπει να διαβάσεις αυτό:Παραγοντοποίηση και μάλιστα η συγκεκριμένη άσκηση λύνεται με τη μέθοδο της ομαδοποίησης που θα δεις στο λινκ που σου έγραψα. Η λύση της είναι:
      αχ+αψ+βχ+βψ=(αχ+αψ)+(βχ+βψ)=α(χ+ψ)+β(χ+ψ)=(χ+ψ)(α+β)

  2. ΠΑΝΟΣ

    τι να κανω με εξισωσεις που δεν θελω να λυθουν με Διακρινουσα…υπαρχουν καποια βηματα για να ακολουθησω ?

    1. Φωτογραφία του/της mathland
      mathland

      Κάποιες ειδικές περιπτώσεις μπορούν να λυθούν και με άλλο τρόπο, γενικά όμως να ξέρεις ότι μόνο με τη διακρίνουσα μπορείς να λύσεις οποιαδήποτε εξίσωση δεύτερου βαθμού.

  3. Τάνια

    Θα ηθελα να με βοηθήσετε με την λυση της παρακατω εξίσωσης 2ου βαθμού: (x-2)(x*x+5x+4)=0
    *x υψωμένο στο τετράγωνο

    1. Φωτογραφία του/της mathland
      mathland

      Τάνια, η εξίσωση που έχεις είναι 3ου βαθμού. Είναι γινόμενο που αποτελείται από δύο παράγοντες τον χ-2 και τον \chi^2+5\chi+4 . Στην περίπτωση που έχουμε ένα γινόμενο ίσο με το μηδέν όπως ακριβώς και στην άσκησή σου λύνουμε δύο εξισώσεις, τη μια φορά λύνουμε την εξίσωση στην οποία έχουμε θέσει τον ένα παράγοντα του γινομένου ίσο με το μηδέν και μετά λύνουμε άλλη εξίσωση που έχουμε θέσει τον άλλο παράγοντα ίσο με το μηδέν. Στη δική σου άσκηση λοιπόν θα έχουμε:

          \[(x-2)(x^2+5x+4)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x-2=0 & \\   or& \\ x^2+5x+4=0  \end{matrix}\right.\]

      οπότε λύνουμε την x-2=0 άρα x=2 και την x^2+5x+4=0 (με την βοήθεια των τύπων) με \alpha=1 \beta=5 \gamma=4 και \Delta=\beta^2-4\alpha\cdot \gamma=25-4\cdot4=9 οπότε

          \[\left\{\begin{matrix} x=\frac{-5-\sqrt{9}}{2}=-4 & \\   or& \\ x=\frac{-5+\sqrt{9}}{2}=-1  \end{matrix}\right.\]

      Τελικά η εξίσωσή σου είχε τρεις λύσεις τους αριθμούς -1, -4, και 2.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Επιτρέπονται τα εξής στοιχεία και ιδιότητες HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>