↑ Επιστροφή σε Εκτός Ύλης

Πεδίο Τιμών

Αρχική Συζητήσεις Εκτός Ύλης Πεδίο Τιμών

Αυτό το θέμα περιέχει 1 απάντηση, έχει 2 φωνές, και ανανεώθηκε τελευταία από Φωτογραφία του/της mathland mathland 5 χρόνια πριν.

Επισκόπηση 2 δημοσιεύσεων - 1 έως 2 (από 2 συνολικά)
  • Συντάκτης
    Δημοσιεύσεις
  • #3673
    Φωτογραφία του/της andrie
    andrie
    Participant

    Θέλω να μάθω να βρίσκω το πεδίο τιμών μιας συνάρτησης.

    #3674
    Φωτογραφία του/της mathland
    mathland
    Keymaster

    Σε προηγούμενο άρθρο αναφερθήκαμε στο πως μπορούμε να βρούμε το Πεδίο Ορισμού σε μια συνάρτηση όταν αυτό δεν μας δίνεται. Για την εύρεση του Πεδίου Ορισμού είχαμε στηριχτεί στους περιορισμούς που προκύπτουν από τους ορισμούς των μαθηματικών εννοιών. Έτσι για παράδειγμα “απαιτούμε από τον τύπο μιας συνάρτησης” να μην μηδενίζεται για καμία τιμή του χ ο παρονομαστής της (αν υπάρχει) , ή να μην γίνεται για καμία τιμή του χ αρνητικό το υπόρριζο (αν υπάρχει) ή το περιεχόμενο του λογαρίθμου να είναι πάντα θετικό.

    Έτσι λοιπόν ή συνάρτηση \bg_white f(x)=\frac{4}{x+8} έχει ως Πεδίο Ορισμού όλους τους Πραγματικούς αριθμούς εκτός από τον αριθμό –8 και αυτό γιατί αν θέσουμε όπου χ=-8 ο παρονομαστής θα μηδενιστεί και δεν θα έχει νόημα το κλάσμα. Οι συναρτήσεις όμως \inline \bg_white g(x)=x+4και \inline \bg_white h(x)=3x^2+3x+3 δεν έχουν κανένα περιορισμό πράγμα που σημαίνει ότι το χ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή (δηλαδή το πεδίο ορισμού σε αυτές τις περιπτώσεις είναι όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών). Θα μπορούσε όμως κάποιος (για τους δικούς του λόγους) να μας περιορίσει το χ να μας δώσει δηλαδή την συνάρτηση \inline \bg_white g(x)=x+4 κι επιπροσθέτως να μας πει ότι το χ μπορεί να πάρει τιμές μόνο από το διάστημα [-2,5], τότε έχουμε μια άλλη συνάρτηση που είναι ο περιορισμός της g. Μάλιστα για να το καταλάβουμε αυτό καλύτερα ας θυμηθούμε ότι η γραφική παράσταση της g με Πεδίο Ορισμού όλο το R είναι μια ευθεία, ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης g με Πεδίο Ορισμού το διάστημα [-2,5] είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα κι όχι ολόκληρη η ευθεία.

    Ας δούμε τώρα λίγο γενικότερα πως μπορούμε να βρούμε το Πεδίο Τιμών μιας συνάρτησης στις περιπτώσεις που μας έχουν περιορίσει το χ. Αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να ξεκινήσουμε από τους περιορισμούς που έχουμε για το χ και να καταλήξουμε στους περιορισμούς για το y. Στο προηγούμενο παράδειγμα για την συνάρτηση \inline \bg_white y=x+4 με \inline \bg_white x\in[-2,5] έχουμε ότι:

    \inline \bg_white -2\leq x \leq 5 \Leftrightarrow

    προσθέτουμε και στα δύο μέλη το 4 με σκοπό να φτάσουμε στο τύπο της συνάρτησης

    \bg_white -2+4 \leq x+4 \leq 5+4 \Leftrightarrow$$ $$2 \leq y \leq 9

    Ακολουθώντας λοιπόν αυτή τη συνθετική μέθοδο καταφέραμε από την ανισότητα που μας έδιναν για το χ να συνθέσουμε στο κέντρο αυτής της ανισότητας τον τύπο της συνάρτησης, καταλήγοντας στο ότι το Πεδίο Τιμών είναι το σύνολο [2,9] όπως φαίνεται και από το σχήμα.

    Ένα άλλο παράδειγμα είναι  η συνάρτηση \inline \bg_white f(x)=\frac{4}{x+8} η οποία όπως προαναφέραμε έχει Πεδίο Ορισμού όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός του –8. Αν τώρα μας περιορίσουν το χ ώστε να παίρνει τιμές στο διάστημα [-2,5] εμείς θα πρέπει να εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο, δηλαδή να πούμε: αφού για το χ ισχύει

    \bg_white -2 \leq x \leq 5 \Leftrightarrow

    προσθέτουμε σε όλα τα μέλη το 8

    \bg_white -2+8 \leq x+8 \leq 5+8 \Leftrightarrow
    \bg_white 6 \leq x+8 \leq 13 \Leftrightarrow

    αντιστρέφουμε τώρα την ανισότητα (κι αλλάζει η φορά της) γιατί θέλουμε το χ+8 να είναι στον παρονομαστή \bg_white \frac{1}{13} \leq \frac{1}{x+8} \leq \frac{1}{6} \Leftrightarrow

    και τέλος πολλαπλασιάζουμε με το 4

    \bg_white \frac{4}{13} \leq \frac{4}{x+8} \leq \frac{4}{6} \Leftrightarrow
    \bg_white \frac{4}{13} \leq y \leq \frac{2}{3}
    φτάσαμε λοιπόν στο σημείο να περιορίσουμε το y στο διάστημα [4/13,2/13] (πρώτος περιορισμός, έπεται και συνέχεια). Δεν φτάνει όμως αυτό γιατί σε αυτή τη συνάρτηση θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας ότι το x απαγορεύεται να πάρει την τιμή –8. Εμείς θα βάλουμε στο x την “απαγορευμένη τιμή” για να δούμε μήπως υπάρχει και κάποια αντίστοιχη για το y. Επειδή όμως αυτό δεν μπορούμε να το κάνουμε έτσι όπως είναι η σχέση που μας έχει δοθεί (εννοώ η \inline \bg_white y=\frac{4}{x+8}) Απομονώνουμε το x και μετά του δίνουμε την τιμή –8, δηλαδή:

    \bg_white y=\frac{4}{x+8}\Leftrightarrow
    \bg_white yx+8y=4 \Leftrightarrow yx=4-8y \Leftrightarrow x=\frac{4-8y}{y}

    Στο στάδιο αυτό κοιτάμε (όπως κάναμε και στο Πεδίο Ορισμού) μην τυχόν προκύψουν περιορισμοί για το y εξαιτίας παρονομαστών, ριζικών, λογαρίθμων. Στο παράδειγμα που λύνουμε βλέπουμε ότι ξαφνικά το y βρέθηκε στον παρονομαστή πρέπει λοιπόν να θεωρήσουμε ότι δεν μπορεί να πάρει την τιμή 0 , δηλαδή πρέπει \inline \bg_white y\neq 0 (δεύτερος περιορισμός). Τώρα είμαστε σε θέση να βάλουμε στην σχέση \inline \bg_white x=\frac{4-8y}{y} όπου χ το –8 και θα δούμε ότι το y γίνεται  \bg_white -8=\frac{4-8y}{y}\Leftrightarrow -8y=4-8y \Leftrightarrow 0y=4

    Βλέπουμε ότι καταλήξαμε σε μια αδύνατη εξίσωση άρα δεν υπάρχει και τρίτος περιορισμός για το y. Αν στο σημείο αυτό βρίσκαμε κάποια συγκεκριμένη τιμή για το y θα έπρεπε να την αποκλείσουμε γιατί αφού το χ δεν μπορεί να πάρει την τιμή –8 και το y δεν θα μπορούσε να πάρει αυτή την τιμή.Μαζεύουμε τώρα όλους τους περιορισμούς που βρήκαμε προηγούμενα ώστε να καταλήξουμε στο Πεδίο Τιμών. Έτσι από το διάστημα [4/13,2/3] (πρώτος περιορισμός) αφαιρούμε την τιμή 0 (δεύτερος περιορισμός) και τυχόν άλλους που θα είχαμε. Επειδή το 0 έτσι κι αλλιώς δεν περιέχεται στο διάστημα [4/13,2/3] καταλαβαίνουμε ότι αυτό είναι τελικά το Πεδίο Τιμών.

    Σε περίπτωση τώρα που η συνάρτηση της οποίας θέλουμε να βρούμε το Πεδίο Τιμών (χωρίς περιορισμούς) είναι της μορφής \inline \bg_white y=\alpha x^2+\beta x+ \gamma (\inline \bg_white \alpha\neq0) ξέρουμε από τη θεωρία ότι έχει σύνολο τιμών το διάστημα

    • \inline \bg_white \[\frac{-\Delta}{4\alpha},+\infty\) αν α>0
    • \inline \bg_white \(-\infty,\frac{-\Delta}{4\alpha}\] αν α<0 όπου \inline \bg_white \Delta=\beta^2-4\alpha \gamma

    Επομένως η συνάρτηση \inline \bg_white y=3x^2+x+3 έχει α=3>0 , β=1, γ=3, Δ=-35 και –Δ/4α =35/12  οπότε έχει σύνολο τιμών το [35/12,+\inline \bg_white \infty]. Καταλαβαίνουμε λοιπόν ότι όλες οι τιμές του y είναι από τον αριθμό 35/12 και πάνω. Αν εμείς θέλουμε να βρούμε το Πεδίο Τιμών της για \inline \bg_white x\in[-2,5] δεν έχουμε παρά να βάλουμε στη θέση του χ τις δύο αυτές τιμές και να δούμε ποια μας δίνει μεγαλύτερο αποτέλεσμα. Δηλαδή, για χ=-2 προκύπτει y=13 ενώ για x=5 παίρνουμε y=83. Άρα το Πεδίο Τιμών είναι [35/12,83]

Επισκόπηση 2 δημοσιεύσεων - 1 έως 2 (από 2 συνολικά)

Πρέπει να είστε συνδεδεμένοι για να απαντήσετε σ' αυτό το θέμα.