Άρρητος Αριθμός

Άρρητος Αριθμός λέγεται κάθε πραγματικός αριθμός που δεν είναι Ρητός.

Έχουμε μιλήσει για το πότε ένας αριθμός θεωρείται Ρητός Αριθμός (όταν μπορεί να γραφτεί σαν κλάσμα με αριθμητή έναν Ακέραιο αριθμό και παρονομαστή πάλι Ακέραιο εξαιρουμένου του 0. Έτσι σύμφωνα με αυτά ο αριθμός -3/7 είναι ρητός, το ίδιο και ο 4 αφού μπορούμε να τον γράψουμε ως κλάσμα π.χ. 8/2. Ακόμη και πολλοί δεκαδικοί είναι Ρητοί αριθμοί όπως για παράδειγμα ο 2,5 που γράφεται 5/2 ή ο 0,333… που είναι ίσος με το κλάσμα 1/3.

Το ερώτημα είναι υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί; Η απάντηση είναι ναι υπάρχουν (όπως θα δούμε παρακάτω) και μάλιστα είναι άπειροι σε πλήθος. Οι αριθμοί αυτοί δεν μπορουν να γραφτούν όπως είπαμε σαν κλάσμα αλλά και ούτε ως δεκαδικοί γιατί έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς καμμία περιοδικότητα ή αν θέλετε χωρίς καμμία λογική βάσει της οποίας θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε όλα τους τα ψηφία. Γι’ αυτό το λόγο επειδή δεν μπορούμε να τους γράψουμε ή ακόμα καλύτερα δεν μπορούμε να τους “πούμε” οι αρχαίοι τους ονόμασαν “αρρητους” (α + ρητός) που σημαίνει “δεν μπορούν να ειπωθούν”. Τέτοιοι αριθμοί είναι για παράδειγμα το γνωστό μας π, ο αριθμός $\sqrt{2}$ (και γενικά όλες οι τετραγωνικές ρίζες αριθμών που δεν είναι τετράγωνα άλλων αριθμών) κ.α.

Είναι ο $\sqrt{2}$ άρρητος; (Για μαθητές Λυκείου)

Φυσικά και είναι γιατί αν δεν ήταν, θα υπήρχε κάποιο ανάγωγο κλάσμα που θα ήταν ίσο με τον $\sqrt{2}$ . Αυτό όμως όπως θα δούμε δεν μπορεί να συμβαίνει. Γιατί;

Γιατί αν υπήρχε ένα τέτοιο κλάσμα π.χ. το m/n θα ήταν $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ , με m και n να μην έχουν κάποιο κοινό διαιρέτη έτσι ώστε το κλάσμα να μην απλοποιείται (ανάγωγο κλάσμα) θα συνέβαινε το εξής: $\sqrt{2}=\frac{m}{n}\Leftrightarrow$

$n\cdot\sqrt{2}=m$

$n^2\cdot(\sqrt{2})^2=m^2\Leftrightarrow$

$2n^2=m^2$ (σχέση 1) από αυτή τη σχέση βλέπουμε ότι ο αριθμός

$m^2$ είναι πολλαπλάσιο του 2. Πράγμα που σημαίνει ότι ο m είναι και αυτός πολλαπλάσιο του 2¹. Τότε όμως θα υπάρχει κάποιος αριθμός έστω k, για τον οποίο θα ισχύει:

$m=2k$ άρα υψώνοντας στο τετράγωνο θα είχαμε

$m^2=4k^2$ και συνδυάζοντας αυτό με τη σχέση 1 παίρνουμε:

$2n^2=4k^2\Leftrightarrow$

$n^2=2k^2$

δηλαδή ο

$n^2$ είναι πολλαπλάσιο του 2 που όπως προαναφέραμε αυτό μας πληροφορεί ότι και ο n είναι πολλαπλάσιο του 2. Αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει γιατί αν ο m και ο n είναι και οι δύο πολλαπλάσια του 2 το κλάσμα m/n δεν θα είναι ανάγωγο όπως δεχτήκαμε στην αρχή. Εδώ φτάσαμε σε “άτοπο” καταλήξαμε δηλαδή σε κάτι λάθος, σε κάτι που δεν μπορεί να συμβαίνει, χωρίς να έχουμε κάνει λάθος συλλογισμούς και χωρις να έχουμε κάνει λάθος σε πράξεις. Τι φταίει γι’ αυτό; ότι ξεκινήσαμε με λάθος υπόθεση.

Προσέξτε: Θέλαμε να αποδείξουμε ότι ο $\sqrt{2}$ είναι άρρητος ξεκινήσαμε θεωρόντας ότι ο αριθμός $\sqrt{2}$ είναι ρητός και ττον γράψαμε σαν κλάσμα φτάσαμε όμως στο σημείο να δούμε ότι αυτό είναι αδύνατο. Άρα ο αριθμός αυτός δεν είναι ρητός είναι άρρητος.

Στις πρακτικές εφαρμογές τους άρρητους αριθμούς τους αντικαθιστούμε με δεκαδικούς αριθμούς κατά προσέγγιση και ανάλογα με το πόσο ακριβείς θέλουμε να είμαστε (π.χ. στις ασκήσεις Φυσικής αντικαθιστούμε τον $\sqrt{2}\simeq1,41$ ) . Στα Μαθηματικά ποτέ, πάντα τον αφήνουμε όπως είναι. Δεν γνωρίζουμε (ούτε θα μάθουμε ποτέ) ποιός ακριβώς είναι, αλλά αυτό δεν μας ενοχλεί μας φτάνει που γνωρίζουμε την βασική του ιδιότητα ότι δηλαδή ισχύει: $(\sqrt{2})^2=2$ .

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

pdouligeris - Αντίστροφοι Αριθμοί

Ο κ και ο κ/1 είναι ο ίδιος αριθμός (με την προϋπόθεση ότι ο κ δεν είναι ίσος με μηδέν).…

Δήμητρα - Αντίστροφοι Αριθμοί

Άρα ο αντίστροφος του κ πχ είναι το κ/1; ή το 1/κ

Ο δεκαδικός 0,4 είναι το κλάσμα 4/10 άρα ο αντίστροφός του είναι το κλάσμα 10/4. Πράγματι $\frac{10}{4}\cdot 0,4=1$

NefLiza - Αντίστροφοι Αριθμοί

Ο αντίστροφος του 0,4 ποιος είναι;

pdouligeris - Πως λύνω μια Εξίσωση α’ Βαθμού

Για δοκίμασε αυτό: http://mathland.gr/%ce%b5%cf%80%ce%af%ce%bb%cf%85%cf%83%ce%b7-%ce%b4%ce%b5%cf%85%cf%84%ce%b5%cf%81%ce%bf%ce%b2%ce%ac%ce%b8%ce%bc%ce%b9%ce%b1%cf%82-%ce%b5%ce%be%ce%af%cf%83%cf%89%cf%83%ce%b7%cf%82/

Άρρητος Αριθμός λέγεται κάθε πραγματικός αριθμός που δεν είναι Ρητός.

Related Posts

Απαλλαγή από τις απόλυτες τιμές

Άρτια – Περιττή Συνάρτηση

About pdouligeris

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης