Ασκήσεις Μιγαδικών

Συζυγής και Μέτρο Μιγαδικού

Άσκηση1:

(α) Να βρείτε τους μιγαδικούς που επαληθεύουν την ισότητα $z \cdot \overline{z} +(z-\overline{z})=3+2i$

(β) Να βρεθεί ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει $\overline{z}=z^2$

Λύση:

Στις περισσότερες ασκήσεις θέτουμε z=x+yi και προσπαθούμε από τη σχέση που μας έχουν δώσει να υπολογίσουμε τα x και y οπότε θα μάθουμε και ποιος είναι ο z. Το ίδιο θα κάνουμε κι εδώ.

(α) Έστω λοιπόν ότι ο z=x+yi, τότε θα έχουμε

$z \cdot \overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$

και

$z-\overline{z}=2yi$

έτσι η σχέση

$z \cdot \overline{z} +(z-\overline{z})=3+2i$

γίνεται

$x^2+y^2+2yi=3+2i$

από την οποία παίρνουμε δύο ισότητες (γιατί για να είναι ίσοι δύο μιγαδικοί πρέπει να έχουν ίσα και τα πραγματικά τους μέρη αλλά και τα φανταστικά τους) τις:

(σχέση 1) $x^2+y^2=3$

(σχέση 2) $2y=2$

από την οποία προκύπτει y=1. Την τιμή αυτή του y αντικαθιστούμε στην σχέση 1 που μας δίνει

$x^2+1^2=3 \Leftrightarrow x^2=2$

δηλαδή

$x=-\sqrt{2}$

$x=\sqrt{2}$

. Τελικά οι λύσεις που βρήκαμε από τη λύση του παραπάνω συστήματος είναι

$(x,y)=(-\sqrt{2},1)$

$(x,y)=(\sqrt{2},1)$

επομένως οι μιγαδικοί αριθμοί που ψάχναμε είναι οι

$z_1=-\sqrt{2}+i$

$z_2=\sqrt{2}+i$

(β) Κι εδώ θέτουμε z=x+yi κι αναζητούμε τα x και y ώστε να ισχύει η

$\overline{z}=z^2\Leftrightarrow$

$x-yi=(x+yi)^2 \Leftrightarrow$

$x-yi=x^2+2xyi+y^2i^2\Leftrightarrow$

$x-yi=(x^2-y^2)+2xyi$

αυτό όμως μπορεί να ισχύει μόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις:

(σχέση 1) $x^2-y^2=x \Leftrightarrow x^2-x=y^2\Leftrightarrow x(x-1)=y^2$

(σχέση 2) $2xy=-y \Leftrightarrow 2xy+y=0 \Leftrightarrow y(2x+1)=0$

η σχέση 2 μας δίνει δύο λύσεις τις

$y=0$ , η οποία αν αντικατασταθεί στην σχέση 1 δίνει
$x(x-1)=0$
δηλαδή
$x=0$
ή
$x=1$
άρα
$z_1=0+0i=0$
ή
$z_2=1+0i=1$
$2x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ , η οποία αν αντικατασταθεί στην σχέση 1 δίνει
$(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})=y^2\Leftrightarrow y^2=\frac{3}{4}$
δηλαδή
$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
ή
$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$
άρα
$z_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
ή
$z_4=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Άσκηση2:

Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού $z=( \frac{2+i}{1-3i} ) ^2$

Λύση:

Εδώ δεν συμφέρει να κάνουμε πράξεις για να φέρουμε τον z στη μορφή a+bi αλλά θα πρέπει να εκμεταλλευτούμε τις ιδιότητες του μέτρου:

$|z|=\left|\left( \frac{2+i}{1-3i}\right) ^2\right|$

$|z|=\left( \left|\frac{2+i}{1-3i}\right|\right) ^2$

$|z|=\left( \frac{|2+i|}{|1-3i|} \right) ^2$

$|z|=\left( \frac{2^2+1^2}{1^2+3^2} \right) ^2=\left(\frac{5}{10}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

Άσκηση3:

Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z+9|=3|z+1|, αποδείξτε ότι |z|=3

Λύση:

1ος τρόπος:
Μια ασφαλής αλλά κουραστική μέθοδος είναι να θέσουμε $z=x+yi$ , οπότε
$z+9=(x+9)+yi$
και
$|z+9|^2=$

$=(x+9)^2+y^2=$

$=x^2+18x+81+y^2$

$z+1=(x+1)+yi$
και
$|z+1|^2=(x+1)^2 +y^2=$

$=x^2+2x+1+y^2$
άρα η σχέση που μας δώσανε γίνεται
$|z+9|^2=9|z+1|^2$

$x^2+18x+81+y^2=9x^2+18x+9+9y^2\Leftrightarrow$

$8x^2+8y^2=72\Leftrightarrow$

$x^2+y^2=9\Leftrightarrow$

$|z|^2=9\Leftrightarrow|z|=3$
2ος τρόπος:
Η καλύτερη μέθοδος είναι να δουλέψουμε με τις ιδιότητες ως εξής:
$|z+9|=3|z+1|\Leftrightarrow$

$|z+9|^2=9|z+1|^2\Leftrightarrow$

$(z+9)\overline{(z+9)}=9(z+1)\overline{(z+1)}\Leftrightarrow$

$(z+9)(\overline{z}+9)=9(z+1)(\overline{z}+1)\Leftrightarrow$

$z\overline{z}+9z+9\overline{z}+81=9(z\overline{z}+z+\overline{z}+1)\Leftrightarrow$

$z\overline{z}+9z+9\overline{z}+81=9z\overline{z}+9z+9\overline{z}+9)\Leftrightarrow$

$8z \overline{z}=72\Leftrightarrow$

$z\overline{z}=9\Leftrightarrow$

$|z|^2=9 \Leftrightarrow |z|=3$